คุณจะหาร (i + 3) / (-3i +7) ในรูปตรีโกณมิติได้อย่างไร

ตอบ:

# 0.311 + 0.275i #

คำอธิบาย:

ก่อนอื่นฉันจะเขียนการแสดงออกในรูปของ # A + สอง #

# (3 + i) / (7-3i) #

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน # Z = a + สอง #, # Z = R (costheta + isintheta) #ที่ไหน:

• # r = sqrt (ก ^ 2 + B ^ 2) #
• # theta = สีน้ำตาล ^ -1 (/ b) #

มาโทรกัน # 3 + i # # z_1 # และ # 7-3i # # z_2 #.

สำหรับ # z_1 #:

# z_1 = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) #

# r_1 = sqrt (3 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (9 + 1) = sqrt (10) #

# theta_1 = สีน้ำตาล ^ -1 (1/3) = 0.32 ^ C #

# z_1 = sqrt (10) (cos (0.32) + isin (0.32)) #

สำหรับ # z_2 #:

# z_2 = r_2 (costheta_2 + isintheta_2) #

# r_2 = sqrt (7 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt (58) #

# theta_2 = สีน้ำตาล ^ -1 (-3/7) = - 0.40 ^ C #

อย่างไรก็ตามตั้งแต่ # 7-3i # อยู่ในจตุภาค 4 เราต้องได้มุมบวกที่เท่ากัน (มุมลบเป็นตามเข็มนาฬิกาไปรอบ ๆ วงกลมและเราต้องการมุมทวนเข็มนาฬิกา)

เพื่อให้ได้มุมที่เป็นบวกเราเพิ่ม # 2pi #, # สีน้ำตาล ^ -1 (-3/7) + 2pi = 5.88 ^ C #

# z_2 = sqrt (58) (cos (5.88) + isin (5.88)) #

สำหรับ # z_1 / z_2 #:

# z_1 / z_2 = r_1 / r_2 (cos (theta_1-theta_2) + isin (theta_1-theta_2)) #

#COLOR (สีขาว) (z_1 / z_2) = sqrt (10) / sqrt (58) (cos ตาล ^ -1 (1/3) - (สีน้ำตาล ^ -1 (-3/7) + 2pi) + isin ตาล ^ -1 (1/3) - (สีน้ำตาล ^ -1 (-3/7) + 2pi)) #

#COLOR (สีขาว) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos ตาล ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi + isin ตาล ^ -1 (1/3) -tan ^ -1 (-3/7) -2pi) #

#COLOR (สีขาว) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29 (cos (-5.56) + isin (-5.56)) #

#COLOR (สีขาว) (z_1 / z_2) = sqrt (145) / 29cos (-5.56) + isqrt (145) / 29sin (-5.56) #

#COLOR (สีขาว) (z_1 / z_2) = 0.311 + 0.275i #

พิสูจน์:

# (3 + i) / (7-3i) * (7 + 3i) / (7 + 3i) = ((3 + i) (7 + 3i)) / ((7-3i) (7 + 3i)) = (21 + + 7i 9i + 3i ^ 2) / (49 + 21i-21i-9i ^ 2) = (21 + 16i + 3i ^ 2) / (49-9i ^ 2) #

# ฉัน ^ 2 = -1 #

# = (21 + 16i-3) / (49 + 9) = (18 + 16i) /58=9/29+8/29i