สองคอร์ดขนานของวงกลมที่มีความยาว 8 และ 10 ทำหน้าที่เป็นฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้ในวงกลม หากความยาวของรัศมีของวงกลมเท่ากับ 12 พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกจารึกไว้ดังกล่าวที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้คืออะไร?

ตอบ:

# 72 * sqrt (2) + 9 * sqrt (119) ~ = 200.002 #

คำอธิบาย:

พิจารณามะเดื่อ 1 และ 2

แผนผังเราสามารถแทรกสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD ในวงกลมและโดยมีเงื่อนไขว่า AB และ CD เป็นคอร์ดของวงกลมในลักษณะของรูปที่ 1 หรือรูปที่ 2

เงื่อนไขที่ด้าน AB และ CD ต้องเป็นคอร์ดของวงกลมแสดงว่าสี่เหลี่ยมคางหมูที่ถูกจารึกไว้นั้นต้องเป็นหน้าจั่วเพราะ

• เส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู (# AC # และ # # ซีดี) มีค่าเท่ากันเพราะ
• #A หมวก B D = B หมวก A C = B hatD C = A หมวก C D #

  และเส้นตั้งฉากกับ # AB # และ # # ซีดี ผ่านจุดศูนย์กลาง E ทำให้เกิดคอร์ดเหล่านี้ (ซึ่งหมายความว่า # AF = BF # และ # CG = DG # และรูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นจากจุดตัดของเส้นทแยงมุมมีฐานใน # AB # และ # # ซีดี มีหน้าจั่ว)

แต่เนื่องจากพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูนั้น

# S = (b_1 + b_2) / 2 * H #ที่ไหน # b_1 # ย่อมาจาก base-1 # b_2 # สำหรับ base-2 และ # H # สำหรับความสูงและ # b_1 # ขนานกับ # b_2 #

และเนื่องจากปัจจัย # (b_1 + b_2) / 2 # มีความเท่าเทียมกันในสมมติฐานของรูปที่ 1 และ 2 สิ่งที่สำคัญคือสมมติฐานที่สี่เหลี่ยมคางหมูมีความสูงอีกต่อไป (# H #) ในกรณีปัจจุบันด้วยคอร์ดที่มีขนาดเล็กกว่ารัศมีของวงกลมไม่ต้องสงสัยเลยว่าในสมมติฐานของรูปที่ 2 สี่เหลี่ยมคางหมูมีความสูงอีกต่อไปและดังนั้นจึงมีพื้นที่ที่สูงขึ้น

ตามรูปที่ 2 ด้วย # AB = 8 #, # CD = 10 # และ # r = 12 #

#triangle_ (BEF) -> cos alpha = ((AB) / 2) / r = (8/2) / 12 = 4/3 = 1/3 #

# -> sin alpha = sqrt (1-1 / 9) = sqrt (8) / 3 = 2sqrt (2) / 3 #

# -> tan alpha = (sin alpha) / cos alpha = (2sqrt (2) / ยกเลิก (3)) / (1 / ยกเลิก (3)) = 2sqrt (2) #

#tan alpha = x / ((AB) / 2) # => # x = 8 / ยกเลิก (2) * ยกเลิก (2) sqrt (2) # => # x = 8sqrt (2) #

#triangle_ (ECG) -> cos beta = ((CD) / 2) / r = (10/2) / 12 = 5/12 #

# -> sin beta = sqrt (1-25 / 144) = sqrt (119) / 12 #

# -> tan beta = (sin beta) / cos beta = (sqrt (119)) / ยกเลิก (12)) / (5 / ยกเลิก (12)) = sqrt (119) / 5 #

#tan beta = y / ((CD) / 2) # => # Y = 10/2 * sqrt (119) / 5 # => # การ y = sqrt (119) #

แล้วก็

# H = x + y ที่ #

# H = 8sqrt (2) + sqrt (119) #

# S = (b_1 + b_2) / 2 * H = (8 + 10) / 2 (8sqrt (2) + sqrt (119)) = 72sqrt (2) + 9sqrt (119) ~ = 200.002 #