เขียนสมการใหม่ในระบบ x'y'-rotated โดยไม่มีคำว่า x'y ' ฉันขอความช่วยเหลือได้ไหม ขอบคุณ!

ตอบ:

ตัวเลือกที่สอง:

# x ^ 04/02 + Y ^ 9/2 = 1 #

คำอธิบาย:

สมการที่กำหนด

# 31x ^ 2 + 10sqrt3xy + 21y ^ 2-144 = 0 "1" #

อยู่ในรูปแบบคาร์ทีเซียนทั่วไปสำหรับส่วนรูปกรวย:

# Axe ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 #

ที่ไหน #A = 31, B = 10sqrt3, C = 21, D = 0, E = 0 และ F = -144 #

การอ้างอิงการหมุนของแกนทำให้เราได้สมการที่ทำให้เราสามารถหมุนส่วนรูปกรวยเป็นมุมที่ระบุได้ # theta #. นอกจากนี้ยังให้สมการที่ทำให้เราสามารถบังคับสัมประสิทธิ์ของ # เซ็กซี่ # เป็น 0

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (B / (C-A)) #

แทนค่าจากสมการ 1:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 ((10sqrt3) / (21-31)) #

ลดความซับซ้อน:

#theta = 1 / 2tan ^ -1 (-sqrt3) #

#theta = -pi / 6 #

ใช้สมการ (9.4.4b) เพื่อตรวจสอบว่าการหมุนใหม่ทำให้ค่าสัมประสิทธิ์ของ # เซ็กซี่ # คำที่จะเป็น 0:

#B '= (A-C) sin (2theta) + B cos (2theta) #

#B '= (31-21) sin (2 (-pi / 6)) + 10sqrt3cos (2 (-pi / 6)) #

#B '= 0 larr # การตรวจสอบแล้ว

ใช้สมการ (9.4.4a) เพื่อคำนวณ # A '#:

#A '= (A + C) / 2 + (A - C) / 2 cos (2theta) - B / 2 บาป (2theta) #

#A '= (31 + 21) / 2 + (31 - 21) / 2 cos (2 (-pi / 6)) - (10sqrt3) / 2 บาป (2 (-pi / 6)) #

#A '= 36 #

ใช้สมการ (9.4.4c) เพื่อคำนวณ C # '#:

#C '= (A + C) / 2 + (C - A) / 2 cos (2theta) + B / 2 บาป (2theta) #

#C '= (31 + 21) / 2 + (21 - 31) / 2 cos (2 (-pi / 6)) + (10sqrt3) / 2 บาป (2 (-pi / 6)) #

#C '= 16 #

ใช้สมการ (9.4.4f) เพื่อคำนวณ # F '#

#F '= F #

#F '= -144 #

ตอนนี้เราสามารถเขียนรูปแบบที่ไม่ได้ทำการหมุน:

# 36x ^ 2 + 16y ^ 2-144 = 0 #

หารทั้งสองข้างด้วย 144:

# x ^ 2/4 + y ^ 2 / 9-1 = 0 #

เพิ่ม 1 ทั้งสองด้าน:

# x ^ 04/02 + Y ^ 9/2 = 1 #

ตอบ:

ตัวเลือก B

คำอธิบาย:

เราสามารถเขียนสมการในรูปเมทริกซ์แล้วหมุนมันลงบนแกนหลักของมัน

ปล่อย:

#bb x ^ T M bb x = x, y (a, b), (b, c) (x), (y) = Q #

# = (x, y) (ax + b y), (bx + cy) = Q #

# = axe ^ 2 + 2b xy + cy ^ 2 = Q #

#implies a = 31, d = 5 sqrt3, c = 21, Q = 144 #

ดังนั้นในรูปแบบเมทริกซ์:

#bb x ^ T (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) bb x = 144 qquad square #

เพื่อหมุนแกน # # BBX โดย # theta #:

#bb x ^ '= R (theta) bb x #

• #implies bbx = R ^ (- 1) bbx ^ '#

transposing #bb x ^ '= R bb x #:

#implies bb x ^ ('^ T) = (R bbx) ^ T = bb x ^ T R ^ T #

#implies bb x ^ ('^ T) = bb x ^ T R ^ (- 1) #ขณะที่ R คือมุมฉาก

• #implies bb x ^ ('^ T) R = bb x ^ T #

การใส่ผลลัพธ์ 2 รายการสุดท้ายเหล่านี้ลงใน # # ตาราง:

#bb x ^ ('^ T) R (31, 5 sqrt3), (5 sqrt3, 21) R ^ (- 1) bb x ^' = 144 #

ถ้าฉัน R คือเมทริกซ์ที่ทแยงมุม M จากนั้นเรามีสมการในแง่ของแกนหลักสำหรับเมทริกซ์ไอเกนเวกเตอร์แนวทแยง Dเช่น

• #D = R M R ^ (- 1) #

M ค่าลักษณะเฉพาะของ 36 และ 16 จึงสามารถเป็นแนวทแยงมุมเป็น:

#bb x ^ ('^ T) D bb x ^' = bb x ^ ('^ T) (36, 0), (0, 16) bb x ^' = 144 #

# (x ', y') (9, 0), (0, 4) ((x '), (y')) = 36 #

#x ^ ('^ 2) / 4 + y ^ (' ^ 2) / 9 = 1 #