Extrema ท้องถิ่นของ f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) คืออะไร?

ตอบ:

# f (x) # มีสูงสุดในท้องถิ่นที่ #approx (0.1032, 15.0510) #

# f (x) # มีขั้นต่ำในท้องถิ่นที่ #approx (3.2301, -0.2362) #

คำอธิบาย:

#f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) #

ใช้กฎผลิตภัณฑ์

#f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5) #

ใช้กฎพลังงาน

#f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) #

# = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 #

# = 3x ^ 2-10x + 1 #

สำหรับ extrema ท้องถิ่น # f (x) = 0 #

ดังนั้น # 3x ^ 2-10x + 1 = 0 #

ใช้สูตรสมการกำลังสอง

# x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1)) / (2 * 3) #

# = (10 + -sqrt (88)) / 6 #

# ประมาณ 3.2301 หรือ 0.1032 #

#f '' (x) = 6x-10 #

สำหรับสูงสุดในท้องถิ่น #f '' <0 # ที่จุดสูงสุด

สำหรับขั้นต่ำในท้องถิ่น #f ''> 0 # ที่จุดสูงสุด

การทดสอบ #f '' (3.2301)> 0 -> f (3.2301) = f_min #

การทดสอบ #f '' (0.1032) <0 -> f (0.1032) = f_max #

ดังนั้น #f_max ประมาณ (0.1032-3) (0.1032 ^ 2-2 * 0.1032-5) #

#approx 15.0510 #

และ, #f_min ประมาณ (3.2301-3) (3.2301 ^ 2-2 * 3.2301-5) #

#approx -0.2362 #

#:. f (x) # มีสูงสุดในท้องถิ่นที่ #approx (0.1032, 15.0510) #

#and f (x) # มีขั้นต่ำในท้องถิ่นที่ #approx (3.2301, -0.2362) #

เราสามารถดู extrema ท้องถิ่นเหล่านี้โดยการซูมไปยังจุดที่เกี่ยวข้องในกราฟของ # f (x) # ด้านล่าง

กราฟ {(x-3) (x ^ 2-2x-5) -29.02, 28.72, -6.2, 22.63}