ตอบ:
จริงๆแล้วมีสี่ค่าสำหรับ # x / 2 # บนวงกลมหน่วยดังนั้นสี่ค่าสำหรับแต่ละฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ ค่าหลักของมุมครึ่งนั้นอยู่ที่ประมาณ # 2.2 ^ circ. #
#cos (1 / 2text {Arc} ข้อความ {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin (1 / 2text {Arc} ข้อความ {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
#tan (1 / 2text {Arc} ข้อความ {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
โปรดดูคำอธิบายสำหรับคนอื่น ๆ
คำอธิบาย:
พูดคุยเกี่ยวกับคำตอบก่อน มีมุมสองมุมบนวงกลมหน่วยซึ่งโคแทนเจนต์เป็น #13#. หนึ่งรอบ # 4.4 ^ circ #และอีกอันคือบวก # 180 ^ circ #เรียกมันว่า # 184.4 ^ circ #. แต่ละคนมีมุมสองครึ่งแยกกันอีกครั้งด้วย # 180 ^ circ. # มุมแรกมีมุมครึ่งหนึ่ง # 2.2 ^ circ # และ # 182.2 ^ circ #ที่สองมีมุมครึ่งหนึ่ง # 92.2 ^ circ # และ # 272.2 ^ circ #ดังนั้นจึงมีคำถามครึ่งมุมอยู่สี่มุมด้วยค่าที่ต่างกัน แต่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันตรีโกณฯ
เราจะใช้มุมด้านบนเป็นค่าประมาณดังนั้นเราจึงมีชื่อสำหรับพวกเขา
มุมที่มีโคแทนเจนต์ 13:
#text {Arc} ข้อความ {cot} 13 ประมาณ 4.4 ^ circ #
# 180 ^ circ + text {Arc} ข้อความ {cot} 13 ประมาณ 184.4 ^ circ #
ครึ่งมุม:
# 1/2 ข้อความ {Arc} ข้อความ {cot} 13 ประมาณ 2.2 ^ circ #
# 1/2 (360 ^ circ + ข้อความ {Arc} ข้อความ {cot} 13) ประมาณ 182.2 ^ circ #
# 1/2 (180 ^ circ + ข้อความ {Arc} ข้อความ {cot} 13) ประมาณ 92.2 ^ circ #
# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + ข้อความ {Arc} ข้อความ {cot} 13) ประมาณ 272.2 ^ Circ #
ตกลงสูตรสองมุมสำหรับโคไซน์คือ:
#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #
ดังนั้นสูตรครึ่งมุมที่เกี่ยวข้องคือ
#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #
#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #
นั่นคือทั้งหมดเบื้องต้น ลองทำปัญหากัน
เราจะทำมุมเล็ก ๆ ก่อน # 2.2 ^ circ. # เราเห็นว่าส่วนที่เหลือเป็นเพียงทวีคูณ # 90 ^ circ # เหนือสิ่งนั้นดังนั้นเราสามารถรับฟังก์ชั่นตรีโกณฯ ของพวกเขาจากมุมแรก
โคแทนเจนต์ของ 13 เป็นความชัน #1/13# ดังนั้นสอดคล้องกับสามเหลี่ยมมุมฉากตรงข้าม #1#ติดกัน #13# และด้านตรงข้ามมุมฉาก #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170} #
#cos (ข้อความ {Arc} ข้อความ {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #
#sin (ข้อความ {Arc} ข้อความ {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #
ตอนนี้เราใช้สูตรครึ่งมุม สำหรับมุมเล็กของเราในจตุภาคแรกเราเลือกสัญญาณบวก
#cos (1 / 2text {Arc} ข้อความ {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
เราสามารถลองทำให้มันง่ายขึ้นและเคลื่อนย้ายเศษส่วนที่อยู่นอกอนุมูล แต่ฉันจะทิ้งมันไว้ที่นี่
#sin (1 / 2text {Arc} ข้อความ {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ))} = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
ครึ่งมุมแทนเจนต์คือความฉลาดของสิ่งเหล่านั้น แต่ใช้ง่ายกว่า
# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #
#tan (1 / 2text {Arc} ข้อความ {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #
ตกลงนั่นคือส่วนที่ยากทั้งหมด แต่อย่าลืมมุมอื่น ๆ
# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #
#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #
# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #
ตอนนี้เรามีมุมที่เหลืออยู่ซึ่งจะสลับไซน์และโคไซน์เพื่อพลิกสัญญาณ เราจะไม่ทำแบบฟอร์มซ้ำยกเว้นแทนเจนต์
# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #
#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #
# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #
# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #
#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #
# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #
วุ้ย.
ตอบ:
#color (indigo) (tan (x / 2) = 0.0384, sin (x / 2) = + -0.0384, cos (x / 2) = + - 1 #
#color (crimson) (tan (x / 2) = -26.0384, sin (x / 2) = + - 0.9993, cos (x / 2) = + - 0.0384 #
คำอธิบาย:
# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #
#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #
+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #
#cot x = 1 / tan x = 13 #
#tan x = 1/13 #
#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #
# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #
# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #
#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #
#tan (x / 2) = 0.0384, -26.0384 #
# csc ^ 2x = 1 + cot ^ 2 x #
#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cot ^ 2 (x / 2) #
แต่เมื่อรู้ #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #
เมื่อ #tan (x / 2) = 0.0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0.0384) ^ 2 = 679.1684 #
#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #
#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #
#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0.0384 / 0.0384 = + - 1 #
เมื่อ #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #
#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #
#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #
