อัตราส่วนของจำนวนจริงบวกสองตัวคือ p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2): p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2) จากนั้นหาอัตราส่วนของ AM และ GM?

ตอบ:

# p / q #.

คำอธิบาย:

ให้พวกเรา เป็น #x และ y, "where, x, y" ใน RR ^ + #.

โดยสิ่งที่ได้รับ # x: การ y = (P + sqrt (P ^ 2-Q ^ 2)):(P-sqrt (P ^ 2-Q ^ 2)) #.

#:. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = lambda, "พูด" #.

#:. x = แลมบ์ดา (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) และ y = แลมบ์ดา (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

ตอนนี้ AM # A # ของ # x, y # คือ, # A = (x + y) / 2 = lambdap #, และพวกเขา

จีเอ็ม # G = sqrt (XY) = sqrt แลมบ์ดา ^ 2 {p ^ 2 (P ^ 2-Q ^ 2)} = lambdaq #.

เห็นได้ชัดว่า # "อัตราส่วนที่ต้องการ" = A / G = (lambdap) / (lambdaq) = p / q #.

ตอบ:

# P / q #

คำอธิบาย:

ฉันจะใช้สัญลักษณ์เดียวกับในคำตอบนี้ ในความเป็นจริงไม่มีความจำเป็นจริงของการแก้ปัญหานี้ (เนื่องจากปัญหาได้รับการแก้ไขแล้วค่อนข้างดี) - ยกเว้นว่ามันแสดงให้เห็นถึงการใช้เทคนิคที่ฉันรักมาก!

ตามปัญหา

# x / y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) / (p - sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #

การใช้ componendo และ dividendo (นี่เป็นเทคนิคที่ฉันชอบพูดถึงข้างต้น) ที่เราได้รับ

# (x + y) / (x-y) = p / sqrt (p ^ 2-q ^ 2) แสดงถึง #

# ((x + y) / (x-y)) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2-q ^ 2) แสดงถึง #

# (x + y) ^ 2 / ((x + y) ^ 2- (x-y) ^ 2) = p ^ 2 / (p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)) หมายถึง

# (x + y) ^ 2 / (4xy) = p ^ 2 / q ^ 2 หมายถึง #

# (x + y) / (2sqrt (xy)) = p / q #

• ซึ่งเป็นอัตราส่วน AM: GM ที่จำเป็น