พิสูจน์มัน: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

เพื่อพิสูจน์

# tg ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+ cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1 sinx) ^ 2) / (1-บาป ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2x) ^ 2) #

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (บาป ^ 4x)) #

# = sin ^ 5x / cos ^ = 5x น้ำตาล ^ = 5x LHS #

ได้รับการพิสูจน์

นี่เป็นหนึ่งในข้อพิสูจน์ที่ง่ายต่อการทำงานจากขวาไปซ้าย เริ่มกับ:

# ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

ตัวคูณและตัวหารของเศษส่วนแบบฝังโดย "conjugates" (เช่น # 1pmsinx # บน # 1 sinx #) คุณได้รับเช่น # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2x #.

# = (((1 + sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx))) - ((1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx)))) / (((1 + cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1-cosx))) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1 + cosx))) #

ทำซ้ำขั้นตอนก่อนหน้านี้เพื่อทำให้ส่วนในตัวเศษส่วนฝังตัวง่ายขึ้น:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2))) / (((1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) #

ใช้ตัวตน # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # และ # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # ที่จะได้รับ:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) / / ((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) - ((1-cosx) ^ 2 / (บาป ^ 4x)) #

รวมเศษส่วนและพลิกเพื่อเพิ่มจำนวนกลับ:

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) / (sin ^ 4x)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) #

ขยายข้อกำหนดกำลังสอง:

# = (ยกเลิก (1) + 2sinx + ยกเลิก (sin ^ 2x) - (ยกเลิก (1) -2sinx + ยกเลิก (sin ^ 2x)) / / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (ยกเลิก (1) + + 2cosx ยกเลิก (cos ^ 2x) - (ยกเลิก (1) -2cosx + ยกเลิก (cos ^ 2x))) #

# = (ยกเลิก (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (ยกเลิก (4) cosx) #

# = color (สีน้ำเงิน) (tan ^ 5x) #