โดเมนและช่วงของ f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) คืออะไร

ตอบ:

โดเมน: บรรทัดจริงทั้งหมด

พิสัย: #-0.0757,0.826#

คำอธิบาย:

คำถามนี้สามารถตีความได้หนึ่งในสองวิธี เราคาดว่าจะจัดการกับสายจริงเท่านั้น # RR #หรืออย่างอื่นด้วยส่วนที่เหลือของระนาบเชิงซ้อน # CC #. การใช้งานของ # x # เป็นตัวแปรที่แสดงว่าเรากำลังเผชิญกับเส้นจริงเท่านั้น แต่มีความแตกต่างที่น่าสนใจระหว่างสองกรณีที่ฉันจะทราบ

โดเมนของ # F # คือชุดตัวเลขทั้งหมดที่พิจารณาลบด้วยคะแนนใด ๆ ที่ทำให้ฟังก์ชันระเบิดเป็นจำนวนอนันต์ สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อตัวส่วน # x ^ 2 + 4 = 0 #เช่นเมื่อ # x ^ 2 = -4 #. สมการนี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาจริงดังนั้นถ้าเรากำลังทำงานบนเส้นจริงโดเมนคือช่วงเวลาทั้งหมด # (- OO + OO) #. หากเราพิจารณาข้อ จำกัด ที่ไม่สิ้นสุดของฟังก์ชันโดยการเปรียบเทียบคำนำในตัวเศษและตัวส่วนเราจะเห็นว่าทั้งอินฟินิตี้ทั้งสองนั้นมีแนวโน้มเป็นศูนย์และเราสามารถทำได้ถ้าเราต้องการเพิ่มสิ่งเหล่านี้ในช่วงเวลานั้นเพื่อปิด: # - OO + OO #.

สมการ # x ^ 2 = -4 # อย่างไรก็ตามมีสองวิธีแก้ปัญหาที่ซับซ้อน # x + = - 2i #. หากเราพิจารณาระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดโดเมนก็คือระนาบทั้งหมดลบสองจุดนี้: # CC # # {+ - 2i} #. เช่นเดียวกับ reals เราสามารถเพิ่มอินฟินิตี้ในทำนองเดียวกันถ้าเราต้องการ

เพื่อกำหนดช่วงของ # F # เราจำเป็นต้องค้นหาค่าสูงสุดและต่ำสุดของโดเมน เราจะพูดในแง่ของ reals ตอนนี้เท่านั้นเนื่องจากการหาอนาล็อกคล้ายกับระนาบที่ซับซ้อนนั้นโดยทั่วไปแล้วเป็นปัญหาประเภทอื่นที่ต้องการเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน

ใช้อนุพันธ์แรกผ่านกฎความฉลาดทาง:

# f '(x) = ((x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

ฟังก์ชั่น # F # เอื้อมมือหรือจุดโรคติดเชื้อเมื่อ # f (x) = 0 #เช่นเมื่อ # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.

เราแก้ปัญหานี้โดยสูตรสมการกำลังสอง:

# x = -1/2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. ดังนั้นฟังก์ชั่นนี้จึงมีสองประเด็น

เราอธิบายลักษณะเหล่านี้โดยตรวจสอบค่าของมันที่อนุพันธ์อันดับสองของ # F #ซึ่งเราดำเนินการผ่านกฎความฉลาดทางอีกครั้ง:

# f '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

เรารู้จากการคำนวณรูทครั้งแรกของเราว่าเทอมที่สองในตัวเศษเป็นศูนย์สำหรับจุดสองจุดนี้เนื่องจากการตั้งค่าที่เป็นศูนย์คือสมการที่เราเพิ่งแก้ไขเพื่อหาตัวเลขอินพุท

ดังนั้นสังเกตว่า # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

# f '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) 3) (22bar (+) 6sqrt (13) 4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) 4) ^ 3 #

# = (บาร์ (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #

ในการพิจารณาสัญลักษณ์ของการแสดงออกนี้เราถามว่า # 26> 6sqrt (13) #. เปรียบเทียบทั้งสองด้าน: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. ดังนั้น # 26-6sqrt (13) # เป็นค่าบวก (และ # 26 + 6sqrt (13) # มากยิ่งขึ้น).

ดังนั้นสัญญาณของการแสดงออกทั้งลงมาที่ #bar (+) # ในด้านหน้าของมันซึ่งหมายความว่า # x = -3-sqrt (13) # มี # f '' (x)> 0 # (และเป็นฟังก์ชันขั้นต่ำ) และ # x = -3 + sqrt (13) # มี # f '' (x) <0 # (และเป็นฟังก์ชันสูงสุด) เมื่อสังเกตว่าฟังก์ชั่นมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่อินฟินิตี้ตอนนี้เราเข้าใจรูปร่างของฟังก์ชั่นอย่างเต็มที่

ดังนั้นตอนนี้เพื่อให้ได้ช่วงเราต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุดต่ำสุดและสูงสุด # x = -3 + -sqrt (13) #

จำได้ว่า # f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #และอื่น ๆ

# f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) 3) / (22bar (+) 6sqrt (13) 4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.

ดังนั้นมากกว่าสายจริง # RR # ฟังก์ชั่น # f (x) # ใช้ค่าในช่วง # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)) sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #ซึ่งถ้าเราประเมินตัวเลขมาถึง #-0.0757,0.826#เป็นตัวเลขสามตัวที่สำคัญได้จาก # x # ค่า #-6.61# และ #0.606# (3 s.f.)

พล็อตกราฟของฟังก์ชันเป็นการตรวจสอบสติ:

กราฟ {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}

ตอบ:

โดเมน: #x ใน RR #

พิสัย: #f (x) ใน -0.075693909, + 0.825693909 สี (ขาว) ("xxx") # (ประมาณ)

คำอธิบาย:

ป.ร. ให้ไว้

#COLOR (สีขาว) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

โดเมน

โดเมน เป็นค่าทั้งหมดของ # x # ซึ่ง # f (x) # ถูกกำหนดไว้

สำหรับฟังก์ชันใด ๆ ที่แสดงเป็นพหุนามหารด้วยพหุนามฟังก์ชันจะถูกกำหนดสำหรับค่าทั้งหมดของ # x # โดยที่พหุนามหารไม่เท่ากับศูนย์ ตั้งแต่ # x ^ 2> = 0 # สำหรับค่าทั้งหมดของ # x #, # x ^ 2 + 4> 0 # สำหรับค่าทั้งหมดของ # x #; นั่นคือ # เท่า! = 0 # สำหรับค่าทั้งหมดของ # x #; ฟังก์ชั่นถูกกำหนดไว้สำหรับจริงทั้งหมด (# RR #) ค่าของ # x #.

พิสัย

พิสัย มันน่าสนใจกว่าที่จะพัฒนา

เราทราบว่าหากฟังก์ชั่นต่อเนื่องมีข้อ จำกัด อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดที่ทำให้เกิดข้อ จำกัด เหล่านั้นจะเท่ากับศูนย์

แม้ว่าบางขั้นตอนเหล่านี้อาจไม่สำคัญ แต่เราจะทำงานผ่านกระบวนการนี้จากหลักการพื้นฐานที่เป็นธรรมสำหรับตราสารอนุพันธ์

1 กฎเลขชี้กำลังสำหรับอนุพันธ์

ถ้า # f (x) = x ^ n # แล้วก็ # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 ผลรวมของกฎสำหรับตราสารอนุพันธ์

ถ้า # f (x) = R (x) + S (x) # แล้วก็ # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #

3 กฎผลิตภัณฑ์สำหรับตราสารอนุพันธ์

ถ้า #f (x) = g (x) * h (x) # แล้วก็ # (d f (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #

4 กฎลูกโซ่สำหรับอนุพันธ์

ถ้า # f (x) = P (Q (x)) # แล้วก็ # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

สำหรับฟังก์ชั่นที่กำหนด # f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

เราทราบว่านี่สามารถเขียนเป็น #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

เรารู้ 3

#color (white) ("XXX") สี (แดง) ((df (x)) / (dx)) = color (มะนาว) ((d (x + 3)) / (dx)) * color (สีน้ำเงิน) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + สี (สีน้ำเงิน) ((x + 3)) * สี (สีม่วงแดง) ((d ((x ^ 2 + 4) ^) - (1))) / (DX)) #

โดย 1 เรามี

#color (white) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #

และโดย 2

#COLOR (สีขาว) ("XXX") สี (มะนาว) ((d (x + 3)) / (DX)) = 1 + 0 = สี (มะนาว) (1) #

โดย 4 เรามี

#color (white) ("XXX") สี (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

และโดย 1 และ 2

#color (white) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

หรือทำให้ง่ายขึ้น:

#COLOR (สีขาว) ("XXXXXXXX") = สี (สีม่วง) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

ให้เรา

#color (ขาว) ("XXX") สี (แดง) ((df (x)) / (dx)) = color (เขียว) 1 * color (สีน้ำเงิน) ((x + 4) ^ (- 1)) + สี (สีน้ำเงิน) ((x + 3)) * color (magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #

ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น

#color (white) ("XXX") สี (แดง) ((d f (x)) / (dx) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

ตามที่ระบุไว้ (วิธีย้อนกลับ) หมายความว่าค่า จำกัด จะเกิดขึ้นเมื่อ

#COLOR (สีขาว) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (white) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

จากนั้นใช้สูตรสมการกำลังสอง (ดูนี่สิโสคราตีบ่นเกี่ยวกับความยาวของคำตอบนี้แล้ว)

เมื่อ

#COLOR (สีขาว) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

แทนที่จะยืดความทุกข์ทรมานเราเพียงแค่เสียบค่าเหล่านี้เข้ากับเครื่องคิดเลขของเรา (หรือสเปรดชีตซึ่งเป็นวิธีที่ฉันทำ) เพื่อรับขีด จำกัด:

#COLOR (สีขาว) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -.075693909 #

และ

#COLOR (สีขาว) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0.825693909 #

ตอบ:

วิธีที่ง่ายกว่าในการค้นหาช่วง โดเมนคือ #x ใน RR #. ช่วงคือ #y ใน -0.076, 0.826 #

คำอธิบาย:

โดเมนคือ #x ใน RR # เช่น

#AA x ใน RR #ตัวส่วน # x ^ 2 + 4> 0 #

ปล่อย # การ y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

ข้ามทวีคูณ

#=>#, # y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# YX ^ 2 + x-4Y-3 = 0 #

นี่คือสมการกำลังสอง # x #

มีวิธีแก้ไขหากแยกแยะได้ #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ * 2-4 (y) (4Y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

ดังนั้น, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

คำตอบของความไม่เท่าเทียมนี้คือ

# y ใน (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), (-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #

#y ใน (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y ใน -0.076, 0.826 #

กราฟ {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}