Eigenvector คืออะไร + ตัวอย่าง

ตอบ:

ถ้าเวกเตอร์ # v # และการแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ # A # เป็นเช่นนั้น #A (v) = k * v # (ในกรณีที่ค่าคงที่ # k # ถูกเรียก eigenvalue), # v # เรียกว่า วิคเตอร์ ของการแปลงเชิงเส้น # A #.

คำอธิบาย:

ลองนึกภาพการแปลงเชิงเส้น # A # การยืดเวกเตอร์ทั้งหมดด้วยปัจจัย #2# ในพื้นที่สามมิติ เวกเตอร์ใด ๆ # v # จะถูกเปลี่ยนเป็น # # 2V. ดังนั้นสำหรับการแปลงนี้เวกเตอร์ทุกตัว eigenvectors กับ eigenvalue ของ #2#.

พิจารณาการหมุนของพื้นที่สามมิติรอบแกน Z ตามมุมของ # 90 ^ o #. เห็นได้ชัดว่าเวกเตอร์ทั้งหมดยกเว้นที่อยู่ตามแนวแกน Z จะเปลี่ยนทิศทางและดังนั้นจึงไม่สามารถ eigenvectors. แต่เวกเตอร์เหล่านั้นตามแนวแกน Z (พิกัดของมันอยู่ในรูปแบบ # 0,0, Z #) จะรักษาทิศทางและความยาวของพวกเขาดังนั้นพวกเขาจึงเป็น eigenvectors กับ eigenvalue ของ #1#.

สุดท้ายให้พิจารณาการหมุนด้วย # 180 ^ o # ในพื้นที่สามมิติรอบแกน Z เหมือนเมื่อก่อนเวกเตอร์แกน Z ยาวจะไม่เปลี่ยนแปลงดังนั้นจึงเป็น eigenvectors กับ eigenvalue ของ #1#.

นอกจากนี้เวกเตอร์ทั้งหมดในระนาบ XY (พิกัดของพวกมันอยู่ในรูปแบบ # x, y, 0 #) จะเปลี่ยนทิศทางกลับเป็นตรงกันข้ามในขณะที่รักษาความยาวไว้ ดังนั้นพวกเขายัง eigenvectors กับ ค่าลักษณะเฉพาะ ของ #-1#.

การแปลงเชิงเส้นของปริภูมิเวกเตอร์ใด ๆ สามารถแสดงเป็นการคูณเวกเตอร์ด้วยเมทริกซ์ ตัวอย่างเช่นตัวอย่างแรกของการยืดถูกอธิบายเป็นการคูณด้วยเมทริกซ์ # A #

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

เมทริกซ์นั้นคูณกับเวกเตอร์ใด ๆ # v = {x, y, z} # จะผลิต # A * v = {2x, 2y, 2Z} #

เห็นได้ชัดว่าเท่ากับ # 2 * V #. ดังนั้นเรามี

# A * v = 2 * v #, ซึ่งพิสูจน์ว่าเวกเตอร์ใด ๆ # v # เป็น วิคเตอร์ ด้วย eigenvalue #2#.

ตัวอย่างที่สอง (การหมุนโดย # 90 ^ o # รอบแกน Z) สามารถอธิบายได้ว่าเป็นการคูณด้วยเมทริกซ์ # A #

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

เมทริกซ์นั้นคูณกับเวกเตอร์ใด ๆ # v = {x, y, z} # จะผลิต # A * v = {- Y, X, Z} #, ซึ่งสามารถมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์ดั้งเดิม # v = {x, y, z} # เพียงแค่ # x y = = 0 #นั่นคือถ้าเวกเตอร์ดั้งเดิมกำกับไปตามแกน Z