ทำไมเราไม่สามารถรวม x ^ x ได้?

ตอบ:

เราไม่มีกฎสำหรับมัน

คำอธิบาย:

ในอินทิกรัลเรามีกฎมาตรฐาน กฎต่อต้านห่วงโซ่กฎต่อต้านผลิตภัณฑ์กฎป้องกันพลังงานและอื่น ๆ แต่เราไม่มีฟังก์ชั่นที่มี # x # ทั้งในฐานและพลัง เราสามารถหาอนุพันธ์ของมันได้ แต่การพยายามหาอินทิกรัลของมันเป็นไปไม่ได้เพราะขาดกฎที่จะใช้

หากคุณเปิดเครื่องคิดเลขกราฟ Desmos คุณสามารถลองเสียบ

# int_0 ^ x a ^ ada #

และมันจะวาดกราฟได้ดี แต่ถ้าคุณพยายามที่จะใช้กฎต่อต้านพลังงานหรือกฎต่อต้านเลขชี้กำลังเพื่อทำกราฟคุณจะเห็นว่ามันล้มเหลว เมื่อฉันพยายามที่จะหามัน (ซึ่งฉันยังคงทำงานอยู่) ขั้นตอนแรกของฉันคือการทำให้มันห่างจากแบบฟอร์มนี้

# inte ^ (XLN (x)) DX #

สิ่งนี้ทำให้เราสามารถใช้กฎของแคลคูลัสได้ดีขึ้น แต่ถึงแม้จะใช้การรวมโดยชิ้นส่วนคุณจะไม่มีทางกำจัดอินทิกรัลได้ ดังนั้นคุณไม่ได้รับฟังก์ชั่นเพื่อตรวจสอบมัน

แต่เช่นเคยในวิชาคณิตศาสตร์มันสนุกที่จะทดสอบดังนั้นไปข้างหน้าและลอง แต่ไม่นานหรือยากเกินไปคุณจะถูกดูดเข้าไปในโพรงกระต่ายนี้

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

#y = x ^ x # สามารถบูรณาการ ตัวอย่างเช่น

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

อีกสิ่งหนึ่งคือการมีวันนี้เป็นฟังก์ชั่น # f (x) # ซึ่งแสดงให้เห็นในรูปแบบปิดดั้งเดิมสำหรับ # x ^ x # หรือในคำอื่น ๆ เช่นว่า

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

หากนี่เป็นฟังก์ชั่นการใช้งานทั่วไปในปัญหาทางเทคนิคเทคนิคแน่นอนว่าเราจะต้องประดิษฐ์ชื่อและสัญลักษณ์ที่แตกต่างเพื่อจัดการมัน เช่นเดียวกับฟังก์ชัน Lambert ที่นิยามเป็น

#W (x) = x e ^ x #

ตอบ:

โปรดดูที่ด้านล่าง.

คำอธิบาย:

ดังที่ Cesareo ได้ระบุไว้ (โดยไม่บอก) มีความคลุมเครือบางอย่างใน "เราไม่สามารถผสาน"

ฟังก์ชั่น #f (x) = x ^ x # อย่างต่อเนื่องใน # (0, OO) #

และใน # 0, OO) # ถ้าเราทำ # f (0) = 1 #ดังนั้นทำอย่างนั้น ดังนั้นอินทิกรัล จำกัด เขต

# int_a ^ b x ^ x dx # มีอยู่สำหรับทุกคน # 0 <= a <= b #

ยิ่งกว่านั้นทฤษฎีบทพื้นฐานของคาลูลัสยังบอกเราอีกว่าฟังก์ชั่น # int_0 ^ x t ^ t dt # มีอนุพันธ์ # x ^ x # สำหรับ #x> = 0 #

สิ่งที่เราไม่สามารถทำได้คือแสดงฟังก์ชันนี้ในนิพจน์เชิงพีชคณิตที่ดี จำกัด และปิด (หรือแม้แต่รู้จักฟังก์ชันยอดเยี่ยม)

มีหลายสิ่งในวิชาคณิตศาสตร์ที่ไม่สามารถแสดงออกได้ยกเว้นในรูปแบบที่ช่วยให้การประมาณดีขึ้นอย่างต่อเนื่อง

ตัวอย่างเช่น:

ตัวเลขที่มีกำลังสอง #2# ไม่สามารถแสดงในรูปทศนิยมหรือเศษส่วนโดยใช้การแสดงออกที่แน่นอน ดังนั้นเราจึงให้สัญลักษณ์ # sqrt2 # และใกล้เคียงกับระดับความแม่นยำที่ต้องการ

อัตราส่วนของเส้นรอบวงกับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมไม่สามารถแสดงอย่างละเอียดได้โดยใช้การรวมพีชคณิตเชิง จำกัด ของตัวเลขทั้งหมดดังนั้นเราจึงตั้งชื่อ # # ปี่ และใกล้เคียงกับระดับความแม่นยำที่ต้องการ

ทางแก้ไป # x = cosx # สามารถประมาณความถูกต้องตามระดับที่ต้องการได้ แต่ไม่สามารถแสดงอย่างละเอียดได้ หมายเลขนี้ (อาจ) ไม่สำคัญพอที่จะได้รับชื่อ

อย่างที่ Cesareo ได้กล่าวไว้หากเป็นส่วนประกอบสำคัญของ # x ^ x # มีแอพพลิเคชั่นมากมายนักคณิตศาสตร์จะนำชื่อมาใช้

แต่การคำนวณจะยังต้องใช้การประมาณอนันต์