โดเมนและช่วงของ f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) คืออะไร

ตอบ:

โดเมนคือ # RR # (ตัวเลขจริงทั้งหมด) และช่วงคือ # 5 sqrt (61)) / 72 (5 + sqrt (61)) / 72 #

(ตัวเลขจริงทั้งหมดระหว่างและรวมถึง # (5 sqrt (61)) / 72 # และ # (5 + sqrt (61)) / 72 #).

คำอธิบาย:

ในโดเมนเราเริ่มต้นด้วยจำนวนจริงทั้งหมดแล้วลบสิ่งใดก็ตามที่จะบังคับให้เรามีสแควร์รูทของจำนวนลบหรือ #0# ในส่วนของเศษส่วน

ได้อย่างรวดเร็วเรารู้ว่าเป็น # x ^ 2> = 0 # สำหรับจำนวนจริงทั้งหมด # x ^ 2 + 36> = 36> 0 #. ดังนั้นตัวส่วนจะไม่เป็น #0# สำหรับจำนวนจริงใด ๆ # x #หมายถึงโดเมนรวมถึงจำนวนจริงทุกตัว

สำหรับช่วงวิธีที่ง่ายที่สุดในการค้นหาค่าข้างต้นเกี่ยวข้องกับแคลคูลัสพื้นฐานบางอย่าง แม้ว่ามันจะยาวกว่า แต่ก็เป็นไปได้ที่จะพบพวกเขาโดยใช้พีชคณิตเท่านั้นอย่างไรก็ตามด้วยวิธีการที่มีรายละเอียดด้านล่าง

เริ่มต้นด้วยฟังก์ชั่น #f (x) = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # เราต้องการค้นหาค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ # f (x) #. นี่เทียบเท่ากับการค้นหาโดเมนของฟังก์ชันผกผัน # ฉ ^ -1 (x) # (ฟังก์ชั่นที่มีคุณสมบัติ # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = 1 #)

น่าเสียดายที่การผกผันของ # f (x) # ในกรณีนี้ไม่ใช่ฟังก์ชั่นเนื่องจากมันส่งกลับค่า 2 อย่างไรก็ตามแนวคิดยังคงเหมือนเดิม เราจะเริ่มด้วยสมการ #y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) # และแก้ให้ # x # เพื่อหาสิ่งที่ตรงกันข้าม ต่อไปเราจะดูค่าที่เป็นไปได้ของ # Y # เพื่อหาโดเมนของผกผันและดังนั้นจึงเป็นช่วงของฟังก์ชั่นดั้งเดิม

การแก้เพื่อ # x #:

#y = (x + 5) / (x ^ 2 + 36) #

# => y (x ^ 2 + 36) = x + 5 #

# => yx ^ 2 + 36y = x + 5 #

# => yx ^ 2 - x + (36y - 5) = 0 #

การรักษาเยียวยา # Y # เป็นค่าคงที่เราใช้สูตรสมการกำลังสอง

# ax ^ 2 + bx + c = 0 => x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) #

ที่จะได้รับ

#x = (1 + - sqrt (1 - 4y (36y-5))) / (2y) #

ตอนนี้เราจำเป็นต้องค้นหาโดเมนของนิพจน์ด้านบน (โปรดทราบว่าไม่ใช่ฟังก์ชันเนื่องจากการ #+-#) โปรดทราบว่าโดยการหารด้วย # Y # ในสูตรสมการกำลังสองเราสูญเสียความเป็นไปได้ของ # การ y = 0 #ซึ่งเป็นไปได้อย่างชัดเจนในสมการดั้งเดิม (สำหรับ #x = -5 #) ดังนั้นเราจะไม่สนใจ # Y # ในส่วนของการผกผันและมุ่งเน้นไปที่รากที่สอง

ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้เราไม่อนุญาตให้รากที่สองของค่าน้อยกว่า 0 และดังนั้นเราจึงมีข้อ จำกัด

# 1 - 4y (36y-5)> = 0 #

# => -144y ^ 2 + 20y + 1> = 0 #

ใช้สูตรสมการกำลังสองบน # -144y ^ 2 + 20y + 1 = 0 # เราพบว่าหลังจากทำให้เข้าใจง่าย

#y = (5 + -sqrt (61)) / 72 #

ในที่สุดเราสามารถบอกได้ว่าเป็น # | Y | # เติบโตขึ้นมาก # -144y ^ 2 + 20y + 1 # จะน้อยกว่า #0#. ดังนั้นเราจะพิจารณาเฉพาะช่วงเวลาระหว่าง

#y = (5-sqrt (61)) / 72 # และ #y = (5 + sqrt (61)) / 72 #

ดังนั้นค่าที่อนุญาตสำหรับ # Y #และเป็นช่วงสำหรับ # f (x) #, คือ

# 5 sqrt (61)) / 72 (5 + sqrt (61)) / 72 #