Extrema สัมบูรณ์ของ f (x) = x - e ^ x ใน [1, ln8] คืออะไร?

ตอบ:

มีค่าสูงสุดแน่นอน #-1.718# ที่ # x = 1 # และขั้นต่ำสุดของ #-5.921# ที่ # x = ln8 #.

คำอธิบาย:

เพื่อตรวจสอบ extrema แน่นอน ในช่วงเวลาหนึ่งเราจะต้องค้นหาค่าวิกฤตของฟังก์ชันที่อยู่ภายในช่วงเวลา จากนั้นเราต้องทดสอบทั้งจุดสิ้นสุดของช่วงเวลาและค่าวิกฤต นี่คือจุดที่อาจเกิดค่าวิกฤต

การค้นหาค่าวิกฤต:

ค่าวิกฤตของ # f (x) # เกิดขึ้นทุกครั้ง # f (x) = 0 #. ดังนั้นเราต้องหาอนุพันธ์ของ # f (x) #.

ถ้า:# "" "" "" "" f (x) = x-e ^ x #

แล้ว: # "" "" "f '(x) = 1-e ^ x #

ดังนั้นค่าวิกฤติจะเกิดขึ้นเมื่อ: # "" "" 1-e ^ x = 0 #

ซึ่งหมายความว่า:# "" "" "" "" "" "" "" e ^ x = 1 #

ดังนั้น:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "x" ln1 = 0 #

ค่าวิกฤติของฟังก์ชันอยู่ที่ # x = 0 #, ซึ่งเป็น ไม่ ในช่วงเวลาที่กำหนด # 1, ln8 #. ดังนั้นค่าเฉพาะที่ extrema สัมบูรณ์สามารถเกิดขึ้นได้คือที่ # x = 1 # และ # x = ln8 #.

การทดสอบค่าที่เป็นไปได้:

เพียงแค่ค้นหา # f (1) # และ # f (ln8) #. ขนาดเล็กคือค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ของฟังก์ชันและยิ่งใหญ่ที่สุดก็คือค่าสูงสุดแน่นอน

# f (1) = 1-E ^ 1 = 1 eapprox-1.718 #

# f (ln8) = ln8-E ^ = ln8 ln8-8approx-5.921 #

ดังนั้นจึงมีค่าสูงสุดแน่นอน #-1.718# ที่ # x = 1 # และขั้นต่ำสุดของ #-5.921# ที่ # x = ln8 #.

Graphed เป็นฟังก์ชั่นดั้งเดิมในช่วงเวลาที่กำหนด:

กราฟ {x-e ^ x.9, 2.079, -7, 1}

เนื่องจากไม่มีค่าวิกฤตฟังก์ชันจะยังคงลดลงตลอดช่วงเวลา ตั้งแต่ # x = 1 # เป็นจุดเริ่มต้นของช่วงเวลาที่ลดลงอย่างต่อเนื่องมันจะมีค่าสูงสุด ตรรกะเดียวกันนี้ใช้กับ # x = ln8 #เนื่องจากเป็นช่วงที่ห่างที่สุดและจะต่ำที่สุด