คุณจะรวม int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt ได้อย่างไร

ตอบ:

ใช้ #ยู#- รัฐธรรมนูญเพื่อรับ # -3lnabs (เปล (t)) + C #.

คำอธิบาย:

ก่อนอื่นให้สังเกตว่าเพราะ #3# เป็นค่าคงที่เราสามารถดึงมันออกมาจากอินทิกรัลเพื่อทำให้ง่ายขึ้น:

# 3int (CSC ^ 2 (t)) / เปล (t) dt #

ตอนนี้ - และนี่คือส่วนที่สำคัญที่สุด - สังเกตว่าอนุพันธ์ของ #cot (t) # คือ # -csc ^ 2 (t) #. เนื่องจากเรามีฟังก์ชั่นและอนุพันธ์อยู่ในอินทิกรัลเดียวกันเราจึงสามารถใช้ #ยู# การทดแทนเช่นนี้:

# U = เปล (t) #

# (du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# du = -csc ^ 2 (t) dt #

เราสามารถแปลงค่าบวก # CSC ^ 2 (t) # เป็นค่าลบเช่นนี้:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / เปล (t) dt #

และใช้การทดแทน:

# -3int (du) / u #

เรารู้ว่า #int (du) / u = lnabs (U) + C #ดังนั้นการประเมินอินทิกรัลจึงเสร็จสิ้น เราเพียงแค่ต้องย้อนกลับมาทดแทน (ใส่คำตอบกลับในแง่ของ # เสื้อ #) และแนบไฟล์นั้น #-3# เพื่อผลลัพธ์ ตั้งแต่ # U = เปล (t) #เราสามารถพูดได้:

# -3 (lnabs (U) + C) = - 3lnabs (เปล (t)) + C #

และนั่นคือทั้งหมดที่

ตอบ:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const. #

คำอธิบาย:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

จำไว้

#sin 2t = 2sint * cost #

ดังนั้น

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

ในขณะที่เราสามารถหาได้ในตารางของอินทิกรัล

(เช่นสารบัญที่มี Csc (ขวาน) ในคณิตศาสตร์ SOS:

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ขวาน) / 2) | #

เราได้ผลลัพธ์นี้

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const. #