อนุญาตเป็น N จำนวนเต็มเล็กที่สุดที่มี 378 ตัวหาร ถ้า N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, ค่าของ {a, b, c, d} ใน NN คืออะไร?

ตอบ:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #

คำอธิบาย:

ได้รับตัวเลข # n # ด้วยการแยกตัวประกอบเฉพาะ #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #ตัวหารแต่ละตัวของ # n # เป็นของแบบฟอร์ม # P_1 ^ (beta_1) P_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # ที่ไหน #beta_i ใน {0, 1, …, alpha_i} #. ตามที่มี # alpha_i + 1 # ทางเลือกสำหรับแต่ละคน # beta_i #จำนวนตัวหารของ # n # ได้รับจาก

# (alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

เช่น # n = 2 ^ ^ axx3 bxx5 ^ ^ cxx7 d #จำนวนตัวหารของ # N # ได้รับจาก # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. ดังนั้นเป้าหมายของเราคือการหา #(เอบีซีดี)# เช่นว่าผลิตภัณฑ์ดังกล่าวถือและ # 2 ^ ^ axx3 bxx5 ^ ^ cxx7 d # น้อยที่สุด ในขณะที่เรากำลังย่อให้เล็กสุดเราจะถือว่าจากจุดนี้เป็นต้นไป รุ่น A> = b> c => = d # (หากไม่ใช่ในกรณีนี้เราสามารถสลับเลขชี้กำลังเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่น้อยลงด้วยจำนวนตัวหารเดียวกัน)

สังเกตว่า # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #เราสามารถพิจารณากรณีที่เป็นไปได้ที่ #378# ถูกเขียนเป็นผลิตภัณฑ์ที่มีสี่จำนวนเต็ม # k_1, k_2, k_3, k_4 #. เราสามารถตรวจสอบสิ่งเหล่านี้เพื่อดูว่าผลิตผลใดให้น้อยที่สุด # N #.

รูปแบบ: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#color (แดง) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

เราสามารถหยุดที่นี่เพราะกรณีใด ๆ เพิ่มเติมจะมีบางส่วน #k_i> = 27 #ให้ # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #ซึ่งมากกว่ากรณีที่ดีที่สุดของเราไปแล้ว

โดยงานดังกล่าวข้างต้นนั้น #(เอบีซีดี)# ซึ่งผลิตน้อยที่สุด # N # กับ #378# ตัวหารคือ # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #ให้ #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19,051,200 #