ความแปรปรวนของ X คืออะไรหากมีฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้: f (x) = {3x2 ถ้า -1 <x <1; 0 มิฉะนั้น}

ตอบ:

#Var = sigma ^ 2 = int (x-mu) ^ 2f (x) dx # ซึ่งไม่สามารถเขียนเป็น:

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mu ^ 2 + mu ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx - mu ^ 2 #

# sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx = 3/5 x ^ 5 _- 1 ^ 1 = 6/5 #

คำอธิบาย:

ฉันสมมติว่าคำถามนั้นหมายถึงพูด

#f (x) = 3x ^ 2 "สำหรับ" -1 <x <1; 0 "มิฉะนั้น" #

ค้นหาความแปรปรวนหรือไม่

#Var = sigma ^ 2 = int (x-mu) ^ 2f (x) dx #

ขยาย:

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mucancel (intxf (x) dx) ^ mu + mu ^ 2cancel (intf (x) dx) ^ 1 #

# sigma ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx-2mu ^ 2 + mu ^ 2 = intx ^ 2f (x) dx - mu ^ 2 #

แทน

# sigma ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 2 * x ^ 2dx -mu ^ 2 = sigma_0 ^ 2 + mu ^ 2 #

ที่ไหน # sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx # และ # mu = 3int_-1 ^ 1 x ^ 3dx #

ลองคำนวณกัน # sigma_0 ^ 2 "และ" mu #

โดยสมมาตร # MU = 0 # มาดูกัน:

# mu = 3int_-1 ^ 1 x ^ 3dx = 3 / 4x ^ 4 _- 1 ^ 1 = 3/4 1-1 #

# sigma_0 ^ 2 = 3int_-1 ^ 1 x ^ 4dx = 3/5 x ^ 5 _- 1 ^ 1 = 6/5 #