ให้ P เป็นจุดใด ๆ บนรูปกรวย r = 12 / (3-x x) ให้F¹และF²เป็นคะแนน (0, 0 °) และ (3, 90 °) ตามลำดับ แสดงว่าPF¹และPF² = 9 หรือไม่

ตอบ:

#r = 12 / {3-sin theta} #

เราถูกขอให้แสดง # | PF_1 | + | PF_2 | = 9 #เช่น # P # กวาดล้างวงรีด้วยจุดโฟกัส # F_1 # และ # F_2. # ดูหลักฐานด้านล่าง

คำอธิบาย:

มาแก้ไขสิ่งที่ฉันจะเดาว่าเป็นตัวพิมพ์และพูดกัน #P (r, theta) # ความพึงพอใจ

#r = 12 / {3-sin theta} #

ช่วงของไซน์คือ #pm 1 # ดังนั้นเราจึงสรุป # 4 le le 6. #

# 3r - r sin theta = 12 #

# | PF_1 | = | P - 0 | = r #

ในพิกัดสี่เหลี่ยม # P = (r cos theta, r sin theta) # และ # F_2 = (3 cos 90 ^ circ, 3 sin 90 ^ circ) = (0,3) #

# | PF_2 | ^ 2 = | P-F_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + (r the theta - 3) ^ 3 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta - 6 r theta theta + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 r บาป theta + 9 #

#r sin theta = 3r -12 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 6 (3r - 12) + 9 #

# | PF_2 | ^ 2 = r ^ 2 - 18r + 81 = (r-9) ^ 2 #

# | PF_2 | = | R-9 | #

# | PF_2 | = 9-r quad # เนื่องจากเรารู้แล้ว # 4 le le 6. #

# | PF_1 | + | PF_2 | = r + 9 -r = 9 quad sqrt #