รัศมีของวงกลมสองวงคือ 16 ซม. และ 10 ซม. AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่กว่า BD สัมผัสกับวงกลมขนาดเล็กที่สัมผัสที่ D. ความยาวของโฆษณาคืออะไร?

ตอบ:

#bar (AD) = 23.5797 #

คำอธิบาย:

การนำต้นกำเนิดมาใช้ #(0,0)# เป็นศูนย์รวมของ # C_i # และ # C_e # และการโทร # r_i = 10 # และ # r_e = 16 # จุดสัมผัส # p_0 = (x_0, y_0) # อยู่ที่สี่แยก #C_i nn C_0 # ที่ไหน

# C_i-> x ^ 2 + Y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + Y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

ที่นี่ # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

การแก้เพื่อ #C_i nn C_0 # เรามี

# {(x ^ 2 + Y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + Y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

การลบสมการแรกจากสมการที่สอง

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # ดังนั้น

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # และ # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

ในที่สุดระยะทางที่ต้องการคือ

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

หรือ

#bar (AD) = 23.5797 #

คำอธิบาย:

ถ้า #bar (BD) # สัมผัสกับ # C_i # แล้วก็ #hat (ODB) = pi / 2 # เพื่อให้เราสามารถใช้พีทาโกรัส:

#bar (OD) ^ 2 + บาร์ (DB) ^ 2 = บาร์ (OB) ^ 2 # การกำหนด # r_0 #

# r_0 ^ 2 = บาร์ (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

ประเด็น # D # พิกัดที่เรียกว่า # (x_0, y_0) # ควรจะได้รับก่อนคำนวณระยะทางที่ต้องการ #bar (AD) #

มีหลายวิธีที่จะทำเช่นนั้น วิธีการทางเลือกคือ

# y_0 = บาร์ (BD) บาป (หมวก (OBD)) # แต่ #sin (หมวก (OBD)) = บาร์ (OD) / บาร์ (OB) #

แล้วก็

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # และ

# x_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

ตามข้อมูลที่กำหนดตัวเลขด้านบนจะถูกดึงออกมา

O เป็นศูนย์กลางร่วมของวงกลมสองวง

#AB -> "เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมใหญ่" #

# AO = OB -> "รัศมีของวงกลมที่ใหญ่กว่า" = 16 ซม. #

#DO -> "รัศมีของวงกลมที่เล็กกว่า" = 10 ซม.

#BD -> "แทนเจนต์เป็นวงกลมขนาดเล็ก" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

ปล่อย # / _ วันเกิด = theta => / _ = AOD (180 theta) #

ใน #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

การใช้กฎหมายโคไซน์ใน #Delta ADO # เราได้รับ

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ * 2-2AO DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ * 2-2AO DOcos (180 theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ = 16 2 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = = sqrt556 23.58cm #