Antiderivate ของ 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 คืออะไร?

ตอบ:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

คำอธิบาย:

ดังนั้นที่นี่เรามีอินทิกรัล:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

และรูปแบบของการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกันกำลังสองดูเหมือนว่าจะแนะนำว่าการทดแทนตรีโกณมิติน่าจะใช้ได้ที่นี่ ดังนั้นทำตารางให้เสร็จก่อน:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

จากนั้นใช้การทดแทน #u = x-1 # เพื่อลบเชิงเส้น:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

ดังนั้นเราสามารถเปลี่ยนตัวแปรได้อย่างปลอดภัยโดยไม่มีผลข้างเคียงที่ไม่พึงประสงค์:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

ตอนนี้เป็นรูปแบบที่เหมาะสำหรับการดำเนินการแทนตรีโกณมิติ # u ^ 2 + 1 # แสดงให้เห็นตัวตนของพีทาโกรัส # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #ดังนั้นเราจึงใช้การแทนที่ #u = tantheta # เพื่อลดความซับซ้อนของส่วน:

# (du) / (d theta) = วินาที ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

ดังนั้นอินทิกรัลจึงกลายเป็น:

#int 1 / (วินาที ^ 2 theta) ^ 2 * วินาที ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (วินาที ^ 2 ทีต้า) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

ตอนนี้เราใช้สูตรสองมุม # cos # เพื่อทำให้ antiderivative นี้จัดการได้ง่ายขึ้น:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (เพราะ (2 theta) + 1) #

จากนั้นใส่ลงในอินทิกรัล:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (และเปิดใหม่อีกครั้งด้วยสูตรสองมุมสำหรับ #บาป#)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

ตอนนี้ # x-1 = u = tan theta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = วินาที ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

ในที่สุดก็มาถึงจุด:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #