คำถาม # 27939

ตอบ:

ดังที่ Sudip Sinha ได้ชี้ให้เห็น # -1 + sqrt3i # ไม่ใช่ศูนย์ (ฉันไม่สนใจที่จะตรวจสอบว่า) เลขศูนย์อื่น ๆ คือ # 1-sqrt3 ฉัน # และ #1#.

คำอธิบาย:

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นจำนวนจริงค่าศูนย์จินตภาพใด ๆ จะต้องเกิดขึ้นในคู่สังยุค

ดังนั้น, # 1-sqrt3 ฉัน # เป็นศูนย์

ถ้า c # # เป็นศูนย์แล้ว # Z-C # เป็นปัจจัยดังนั้นเราจึงสามารถคูณได้

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # เพื่อรับ # Z ^ 2-2z +4 #

แล้วหาร #P (z) # โดยสมการกำลังสองนั้น

แต่มันเร็วกว่าที่จะพิจารณาถึงเหตุผลที่เป็นไปได้สำหรับ # P # เป็นครั้งแรก หรือเพิ่มค่าสัมประสิทธิ์เพื่อดูว่า #1# ก็เป็นศูนย์เช่นกัน

ตอบ:

#1# และ # 1 - sqrt3 ฉัน #

คำอธิบาย:

มีข้อผิดพลาดในคำถามของคุณ รากควรจะเป็น # 1 + sqrt3 ฉัน #. คุณสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ได้โดยใส่ค่าลงในนิพจน์ ถ้าเป็นรูทนิพจน์ควรประเมินเป็นศูนย์

การแสดงออกมีค่าสัมประสิทธิ์ที่แท้จริงทั้งหมดดังนั้นโดย Complex Conjugate Roots Theorem (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem) เรามีรากที่ซับซ้อนอื่นคือ # 1 - sqrt3 ฉัน #, เห็นได้ชัดว่ารากที่สาม (พูด # A #) จะต้องเป็นจริงเนื่องจากมันไม่สามารถมีคอนจูเกตที่ซับซ้อน มิฉะนั้นจะมี 4 รูทซึ่งเป็นไปไม่ได้สำหรับสมการระดับ 3

บันทึก

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (ตั้งแต่ # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

เราจะพยายามให้ได้ปัจจัยนี้ในการแสดงออก

เราอาจเขียน:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

ตอบ:

ในฐานะที่เป็นอินโทรฉันคิดว่ารูทควรจะเป็น #COLOR (สีฟ้า) (1 + sqrt3) # และไม่ #COLOR (สีแดง) (- 1 + sqrt3) #

บนพื้นฐานนั้น คำตอบของฉันคือ:

#z ใน {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

คำอธิบาย:

โดยใช้ความคิดของ คอนจูเกตที่ซับซ้อน และอื่น ๆ เทคนิคเจ๋ง ๆ.

#P (z) # คือพหุนามของดีกรี #3#. นี่ก็หมายความว่ามันควรจะมี #3# ราก.

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจอย่างหนึ่งเกี่ยวกับรากที่ซับซ้อนคือพวกมันไม่เคยเกิดขึ้นเพียงลำพังพวกมันมักจะเกิดขึ้น คอนจูเกตคู่.

ดังนั้นถ้า # 1 + isqrt3 # เป็นหนึ่งรูทแล้วคอนจูเกต: # 1 isqrt3 # แน่นอนที่สุดก็คือรูทเช่นกัน!

และเนื่องจากมีรูทเหลืออีกเพียงหนึ่งเราจึงสามารถเรียกรูตนั้นได้ # Z = a #.

มันไม่ได้เป็นจำนวนเชิงซ้อนเพราะรากที่ซับซ้อนเกิดขึ้นเป็นคู่เสมอ

และเนื่องจากนี่เป็นครั้งสุดท้ายของ #3# รากไม่สามารถมีคู่อื่นได้หลังจากคู่แรก!

ในท้ายที่สุดปัจจัยของ #P (z) # ถูกพบได้ง่าย # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "และ" (z-a) #

หมายเหตุ: โปรดทราบว่าความแตกต่างระหว่างรูทและปัจจัยคือ:

- รากอาจเป็น # Z = 1 + i #

แต่ปัจจัยที่เกี่ยวข้องจะเป็น # Z- (1 + i) #

เคล็ดลับที่สองคือโดยแฟ #P (z) # เราควรได้รับสิ่งนี้:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

ถัดไปขยายเครื่องมือจัดฟัน

#P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = Z ^ 3 + Z ^ 2 (-a-2) + Z (2a + 4) -4a #

ต่อไปเราเปรียบเทียบสิ่งนี้กับพหุนามดั้งเดิม #P (z) = Z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => Z ^ 3 + Z ^ 2 (-a + 2) + Z (-2A +4) -4a = Z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

เนื่องจากชื่อพหุนามทั้งสองเหมือนกันเราจึงคำนวณค่าสัมประสิทธิ์ของ # Z ^ 3 #, # Z ^ 2 #, # Z ^ 1 #และ # Z ^ 0 #(เทอมคงที่) ทั้งสองข้าง

ที่จริงแล้วเราแค่ต้องเลือกหนึ่งสมการและแก้เพื่อ # A #

เท่ากับเงื่อนไขคงที่

# => - 4a = -4 #

# => a = 1 #

ดังนั้นรากสุดท้ายคือ #COLOR (สีฟ้า) (Z = 1) #