ช่วงเวลาของการลู่เข้าของ sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n คืออะไร? และผลรวมใน x = 3 คืออะไร?

ตอบ:

# - oo, -4 "U" 5, oo "เป็นช่วงเวลาของการลู่เข้าสำหรับ x" #

# "x = 3 ไม่ได้อยู่ในช่วงของการลู่ดังนั้นผลรวมของ x = 3 คือ" oo #

คำอธิบาย:

# "ปฏิบัติต่อผลรวมตามที่ควรจะเป็นชุดเรขาคณิตโดยแทนที่" #

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

# "จากนั้นเรามี" #

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "สำหรับ" | z | <1 #

# "ดังนั้นช่วงเวลาของการบรรจบคือ" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "หรือ" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 ลบ)" #

# "กรณีที่เป็นบวก:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 และ x> 5 #

# => x> 5 #

# "กรณีเชิงลบ:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 และ x <5 #

# => x <-4 #

# "ส่วนที่สอง:" x = 3 => z = 2> 1 => "ผลรวมคือ" oo #