คำถาม # ecc3a

ตอบ:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

คำอธิบาย:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

ตอบ:

#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

คำอธิบาย:

เมื่อใดก็ตามที่เรามีกำลังสองในตัวส่วนและไม่ # x #อยู่ในตัวเศษเราต้องการให้อินทิกรัลเป็นรูปแบบต่อไปนี้:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

ในกรณีของเราเราสามารถทำสิ่งนี้ได้ด้วยการทำตารางให้สมบูรณ์แล้วใช้การทดแทน

# x ^ 2 + x + 1 = (x + 2/1) ^ 2 + K #

# x ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 4/1 + K #

# k = 4/3 #

# x ^ 2 + x + 1 = (x + 2/1) ^ 2 + 4/3 #

# 3int 1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

เราต้องการที่จะแนะนำการเปลี่ยนตัวคุณเช่น:

# (x + 2/1) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

เราสามารถแก้ปัญหาได้ # x # เพื่อทราบว่าการทดแทนนี้จำเป็นต้อง:

# x + 2/1 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u-1/2 #

เพื่อบูรณาการด้วยความเคารพ #ยู#เราคูณด้วยอนุพันธ์ของ # x # ด้วยความเคารพ #ยู#:

# DX / (du) = sqrt3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = #

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (U) + C #

ตอนนี้เราสามารถแก้ปัญหาได้ #ยู# ในแง่ของ # x # ที่จะกลับมา:

# U = (2x + 1) / sqrt3 #

นี่หมายความว่าคำตอบสุดท้ายของเราคือ:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #