Lim_ (x-> 0) (sqrt (1 + x ^ 2) -sqrt (1 + x)) / (sqrt (1 + x ^ 3) -sqrt (1 + x)) =?

ตอบ:

#lim_ (x-> 0) (sqrt (1 + x ^ 2) -sqrt (1 + x)) / (sqrt (1 + x ^ 3) -sqrt (1 + x)) = 1 #

คำอธิบาย:

ด้วยการใช้กฎของ L'Hopital เรารู้ว่า #lim_ (x-> ก) (f (x)) / (g (x)) => (ฉ '(ก)) / (g' (ก)) #

# f (x) = sqrt (1 + x ^ 2) -sqrt (1 + x) #

# = (1 + x ^ 2) ^ (1/2) - (1 + x) ^ (1/2) #

# f '(x) = x (1 + x ^ 2) ^ (- 1/2) - (1 + x) ^ (- 1/2) / 2 #

#G (x) = sqrt (1 + x ^ 3) -sqrt (1 + x) #

# = (1 + x ^ 3) ^ (1/2) - (1 + x) ^ (1/2) #

#G '(x) = (3x ^ 2 (1 + x ^ 3) ^ (- 1/2)) / 2- (1 + x) ^ (- 1/2) / 2 #

#lim_ (x-> 0) (sqrt (1 + x ^ 2) -sqrt (1 + x)) / (sqrt (1 + x ^ 3) -sqrt (1 + x)) => (0 (1+ 0 ^ 2) ^ (- 1/2) - (1 + 0) ^ (- 1/2) / 2) / ((3 (0) ^ 2 (1 + 0 ^ 3) ^ (- 1/2)) / 2- (1 + 0) ^ (- 1/2) / 2) #

#=(-(1+0)^(-1/2)/2)/(-(1+0)^(-1/2)/2)#

# = ยกเลิก (- (1 + 0) ^ (- 1/2) / 2) / ยกเลิก (- (1 + 0) ^ (- 1/2) / 2) = 1 #

ฉันถูกขอให้ประเมินนิพจน์ขีด จำกัด ต่อไปนี้: lim_ (xtooo) (3x-2) / (8x + 7) โปรดแสดงทุกขั้นตอน ? ขอบคุณ

Lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] = color (blue) (3/8 ต่อไปนี้เป็นสองวิธีที่แตกต่างกันที่คุณอาจใช้สำหรับปัญหานี้แตกต่างจากวิธีของ Douglas K. ในการใช้l'Hôpital's กฎเราขอให้ค้นหาขีด จำกัด lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] วิธีที่ง่ายที่สุดที่คุณสามารถทำได้คือเสียบปลั๊กจำนวนมากสำหรับ x (เช่น 10 ^ 10) และดูผลลัพธ์; โดยทั่วไปค่าที่ออกมามักจะเป็นขีด จำกัด (คุณอาจไม่ทำเช่นนี้เสมอไปดังนั้นวิธีนี้มักจะไม่เหมาะสม): (3 (10 ^ 10) -2) / (8 (10 ^ 10) +7) ~~ color (blue) (3/8 อย่างไรก็ตามต่อไปนี้เป็นวิธีที่แน่นอนในการค้นหาขีด จำกัด : เรามี: lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] ให้หารตัวเศษ และตัวหารโดย x (คำนำหน้า): lim_ (xr

ทำไม lim_ (x-> oo) (sqrt (4x ^ 2 + x-1) -sqrt (x ^ 2-7x + 3)) = lim_ (x-> oo) (3x ^ 2 + 8x-4) / ( 2x + ... + x + ... ) = OO?

"ดูคำอธิบาย" "คูณด้วย" 1 = (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) "จากนั้นคุณจะได้รับ" lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt ( x ^ 2 - 7 x + 3)) "(เพราะ" (ab) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 ")" = lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 (1 + 1 / (4x) - 1 / (4x ^ 2))) + sqrt (x ^ 2 (1 - 7 / x + 3 / x ^ 2)) = Lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (2x sqrt (1 + 0 - 0) + x sqrt (1 - 0 + 0)) "(เพราะ" lim_ {x-> oo} 1 / x = 0 ")" = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8

ค่าของ lim_ (x -> 2) ([2 - x] + [x - 2] - x) =? (โดยที่ [.] หมายถึงฟังก์ชันจำนวนเต็มที่มากที่สุด)

-3 อนุญาต, f (x) = ([2-x] + [x-2] -x) เราจะพบขีด จำกัด ของมือซ้ายและมือขวาของ f เป็น x to2 ในฐานะที่เป็น x ถึง 2, x <2; "เด่นกว่า, 1 <x <2" เมื่อเพิ่ม -2 ลงในความไม่เท่ากันเราจะได้รับ -1 lt (x-2) <0 และคูณความไม่เท่าเทียมกันด้วย -1 เราจะได้ 1 gt 2-x gt 0. : [x-2] = - 1 ....... , และ, ................. [2-x] = 0 rArr lim_ (x ถึง 2) f (x) = (0 + (- 1) -2) = - 3 ....................... ( star_1) เป็น x ถึง 2+, x gt 2; "ดีกว่า," 2 lt x lt 3: 0 lt (x-2) lt 1 และ, -1 lt (2-x) lt 0. : [2-x] = - 1, ....... , และ, .............. [x-2] = 0 rArr lim_ (x ถึง 2+) f (x) = (- 1 + 0-2) = - 3 ...............