ฉันจะแก้สมการเชิงอนุพันธ์นี้ได้อย่างไร

ตอบ:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

คำอธิบาย:

มันคือ สมการเชิงอนุพันธ์ ซึ่งหมายความว่าเป็นไปได้ที่จะจัดกลุ่ม # x # เงื่อนไข & # Y # คำศัพท์ที่อยู่ฝั่งตรงข้ามของสมการ ดังนั้นนี่คือสิ่งที่เราจะทำก่อน:

# (e ^ x) y dy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

ตอนนี้เราต้องการที่จะได้รับ ด้านข้างของ y และ dx ด้านกับ x เราจะต้องทำการจัดเรียงใหม่:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

ตอนนี้เรารวมทั้งสองด้าน:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

ลองทำอินทิกรัลแต่ละอันด้วยกัน:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

ก่อนอื่นมาแบ่งเป็น 2 อินทิกรัลแยกกันตามกฎการบวก / ลบ:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

ลักษณะเหล่านี้น่ารำคาญ อย่างไรก็ตามเราสามารถทำให้พวกเขาเล็กน้อยเพื่อให้พวกเขาดูดีขึ้น (และง่ายต่อการแก้ไข):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

ทั้งสองอย่างนี้ง่าย #ยู#- อินทิเกรตแทน หากตั้งไว้ #u = -x # และ # -3x # ตามลำดับคุณจะได้รับคำตอบดังนี้:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

# ถ้าเราสร้างเลขชี้กำลังเป็นลบในเชิงบวกเราจะได้รับ:

#int (เจ้า ^ y) DY #

เราจะต้องใช้การรวมเป็นส่วน ๆ สำหรับสิ่งนี้ สูตรคือ:

#int (UV) DY = UV-int (V * ดู่) #

เรากำลังจะไปตั้ง #u = y #และ #dv = e ^ y dy #. เหตุผลคือเราต้องการง่าย # du # สำหรับการรวมครั้งสุดท้ายนั้นและเพราะ # อี ^ Y # ง่ายมากที่จะรวมเข้าด้วยกัน

ดังนั้น:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

ตอนนี้เราเพิ่งเสียบแล้วสับ:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

ใส่ทุกอย่างกลับเข้าไปใน:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

การกำจัดเลขชี้กำลังเป็นค่าลบ:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

และนั่นเป็นคำตอบสุดท้ายที่ดีงาม หากคุณต้องการที่จะแก้ # Y #คุณสามารถและคุณจะจบลงด้วย

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

สังเกตว่าเราไม่มี # + C # บน LHS ของสมการนี้ เหตุผลของเรื่องนี้ก็คือแม้ว่าเราจะใส่มันเข้าไปในท้ายที่สุดเราก็จะลบมันออกจาก RHS และค่าคงที่ตามอำเภอใจลบด้วยค่าคงที่ตามอำเภอใจยังคง (รอ) ค่าคงที่ตามอำเภอใจ ดังนั้นสำหรับปัญหาเหล่านี้ตราบใดที่คุณมีของคุณ # + C # ด้านใดด้านหนึ่งของสมการคุณจะไม่เป็นไร

หวังว่าจะช่วย:)