Function Continued Fraction (FCF) ของคลาสเอ็กซ์โพเนนเชียลถูกกำหนดโดย a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ... )))) , a> 0. เมื่อตั้งค่า a = e = 2.718281828 .. คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่า e_ (cf) (0.1; 1) = 1.880789470 เกือบ?

ตอบ:

ดูคำอธิบาย …

คำอธิบาย:

ปล่อย #t = a_ (cf) (x; b) #

แล้ว:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …)))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b))) = a ^ (x + b / t) #

ในคำอื่น ๆ # เสื้อ # เป็นจุดคงที่ของการทำแผนที่:

#F_ (a, b, x) (t) = a ^ (x + b / t) #

โปรดทราบว่าด้วยตัวเอง # เสื้อ # เป็นจุดคงที่ของ #F (t) # ไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์ได้ว่า #t = a_ (cf) (x; b) #. อาจมีจุดคงที่ที่ไม่เสถียรและมั่นคง

ตัวอย่างเช่น, #2016^(1/2016)# เป็นจุดคงที่ของ #x -> x ^ x #แต่ไม่ใช่ทางออกของ # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …)))) = 2016 # (ไม่มีวิธีแก้ปัญหา)

อย่างไรก็ตามให้เราพิจารณา #a = e #, #x = 0.1 #, #b = 1.0 # และ #t = 1.880789470 #

แล้ว:

#F_ (a, b, x) (t) = e ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) #

# ~~ E ^ (0.1 + 0.5316916199) #

# = ^ อี 0.6316916199 #

# ~~ 1.880789471 ~~ t #

ดังนั้นคุณค่าของ # เสื้อ # อยู่ใกล้กับจุดคงที่ของ #F_ (A, B, X) #

เพื่อพิสูจน์ว่ามันมีเสถียรภาพพิจารณาอนุพันธ์ใกล้ # เสื้อ #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0.1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) #

ดังนั้นเราจึงพบ:

#F '_ (e, 1,0.1) (t) = -1 / t ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / t) = -1 / t ^ 2 * t = -1 / t ~~ -0.5316916199 #

เนื่องจากนี่เป็นค่าลบและมีค่าน้อยกว่า #1#จุดคงที่ที่ # เสื้อ # มีเสถียรภาพ

นอกจากนี้โปรดทราบว่าสำหรับมูลค่าที่แท้จริงที่ไม่เป็นศูนย์ของ # s # เรามี:

#F '_ (e, 1,0.1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) <0 #

นั่นคือ #F_ (จ, 1,0.1) (s) # มีการลดลงอย่างน่าเบื่อหน่าย

ด้วยเหตุนี้ # เสื้อ # เป็นจุดคงที่ที่ไม่เหมือนใคร

ตอบ:

พฤติกรรมตามสัญญา

คำอธิบาย:

กับ #a = e # และ #x = x_0 # การทำซ้ำดังต่อไปนี้

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # และนอกจากนี้ยังมี

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

ให้เราตรวจสอบเงื่อนไขสำหรับการหดตัวในผู้ประกอบการทำซ้ำ

ย่อส่วนทั้งสองข้าง

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

แต่ในการประมาณครั้งแรก

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ 2) #

หรือ

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} ประมาณ -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 (y_k-Y_ {k-1}) #

เพื่อให้มีการหดตัวที่เราต้องการ

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

นี่คือบรรลุถ้า

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #. เผื่อว่า #b> 0 # และ #k = 1 # เรามี.

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

ได้รับดังนั้น # x_0 # และ # B # ความสัมพันธ์นี้ช่วยให้เราสามารถค้นหาการวนซ้ำเริ่มต้นภายใต้พฤติกรรมการหดตัว