คุณจะหาจุดทั้งหมดบนเส้นโค้ง x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 โดยที่เส้นสัมผัสเป็นเส้นขนานกับแกน x และจุดที่เส้นสัมผัสขนานกับแกน y ได้อย่างไร

ตอบ:

เส้นสัมผัสนั้นขนานกับ # x # แกนเมื่อความชัน (ดังนั้น # DY / DX #) เป็นศูนย์และขนานกับ # Y # แกนเมื่อความชัน (อีกครั้ง, # DY / DX #) ไปที่ # OO # หรือ # -oo #

คำอธิบาย:

เราจะเริ่มด้วยการค้นหา # DY / DX #:

# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #

# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #

# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #

# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #

ตอนนี้ # dy / dx = 0 # เมื่อ nuimerator เป็น #0#หากว่าสิ่งนี้ไม่ได้ทำให้ตัวส่วน #0#.

# 2x + Y = 0 # เมื่อ #y = -2x #

เรามีสองสมการแล้ว:

# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #

#y = -2x #

แก้ (โดยการทดแทน)

# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #

# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #

# 3x ^ 2 = 7 #

#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #

การใช้ #y = -2x #, เราได้รับ

เส้นสัมผัสของเส้นโค้งเป็นแนวนอนที่จุดสองจุด:

# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # และ # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #

สังเกตว่าคู่เหล่านี้ไม่ได้เป็นตัวส่วนของ # DY / DX # เท่ากับ #0#)

หากต้องการหาจุดที่แทนเจนต์เป็นแนวตั้งให้หารของ # DY / DX # tpo เท่ากัน #0# (โดยไม่ต้องสร้างตัวเศษ #0#).

เราสามารถไปแก้ปัญหาได้ แต่สมการของสมการที่เราจะได้รับ:

# x = -2y #ดังนั้น

#y = + - sqrt21 / 3 #

และจุดบนเส้นโค้งที่แทนเจนต์เป็นแนวตั้งคือ:

# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # และ # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #

ยังไงซะ. เนื่องจากเรามีเทคโนโลยีนี่คือกราฟของวงรีที่หมุนได้: (โปรดสังเกตว่า # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # ซึ่งคุณสามารถเห็นบนกราฟ)

กราฟ {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}

ตอบ:

ใช้คณิตศาสตร์ของโรงเรียนมัธยมเท่านั้นที่ฉันได้รับ

แทนเจนต์ขนานกับแกน x ที่:

# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) และ (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #

แทนเจนต์ขนานกับแกน y ที่:

# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) และ (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #

คำอธิบาย:

ฉันเหลือบไปดูคำตอบของ Jim ซึ่งดูเหมือนว่าเป็นการรักษาแคลคูลัสมาตรฐานที่ดี แต่ฉันอดไม่ได้ที่จะรู้สึกเศร้าสำหรับเด็กมัธยมต้นที่นั่นในดินแดนโสคราตีสที่ต้องการหาเส้นโค้งของพีชคณิตเกี่ยวกับพีชคณิต แต่ก็ยังห่างจากแคลคูลัสหลายปี

โชคดีที่พวกเขาสามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้โดยใช้พีชคณิต I เท่านั้น

# x ^ 2 + XY + Y ^ 2 = 7 #

นี่อาจจะค่อนข้างซับซ้อนสำหรับตัวอย่างแรก แต่ไปด้วยกัน เราเขียนเส้นโค้งของเราเป็น # f (x, y) = 0 # ที่ไหน

#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #

ไปกันเถอะ # (r s) # เป็นจุดบน # F #. เราต้องการตรวจสอบ # F # ใกล้ # (r s) # ดังนั้นเราจึงเขียน

#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #

# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #

เราขยาย แต่เราไม่ขยายเงื่อนไขที่แตกต่าง # x-R # และ # Y-S #. เราต้องการรักษาความสมบูรณ์เหล่านั้นเอาไว้เพื่อให้เราสามารถทำการทดสอบในการกำจัดบางอย่างในภายหลัง

#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #

# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #

# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #

พวกเราพูด # (r s) # เปิดอยู่ # F # ดังนั้น # f (r s) = 0 #.

#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #

เราจัดเรียงคำศัพท์ตามระดับและเราสามารถทดลองประมาณได้ # F # ใกล้ # (r s) # โดยวางระดับที่สูงขึ้น ความคิดคือเมื่อ # (x, y) # ใกล้ ๆ # (r s) # แล้วก็ # x-R # และ # Y-S # มีขนาดเล็กและสี่เหลี่ยมและผลิตภัณฑ์ยังคงมีขนาดเล็กลง

ลองสร้างการประมาณกันดู # F #. ตั้งแต่ # (r s) # อยู่บนเส้นโค้งการประมาณค่าคงที่ลดเงื่อนไขต่างกันทั้งหมดลง

# f_0 (x, y) = 0 #

นั่นไม่ใช่เรื่องที่น่าตื่นเต้น แต่มันบอกเราถึงจุดที่ถูกต้อง # (r s) # จะให้ค่าใกล้ศูนย์สำหรับ # F #.

มาน่าสนใจมากขึ้นและรักษาเงื่อนไขเชิงเส้น

# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #

เมื่อเราตั้งค่านี้เป็นศูนย์เราจะได้ค่าประมาณเชิงเส้นที่ดีที่สุด # F # ใกล้ # (r s), # ซึ่งก็คือ เส้นสัมผัส ไปยัง # F # ที่ # (r s). # ตอนนี้เรากำลังเดินทางอยู่ที่ไหนซักแห่ง

# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #

เราสามารถพิจารณาการประมาณอื่น ๆ ได้เช่นกัน:

# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #

# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #

นี่คือการเรียงลำดับที่สูงขึ้นซึ่งเป็นสิ่งที่นักเรียนคณิตศาสตร์ระดับวิทยาลัยแทบจะไม่เคยได้รับ เราผ่านพ้นแคลคูลัสไปแล้ว

มีการประมาณมากกว่านี้ แต่ฉันถูกเตือนว่ามันใช้เวลานาน ตอนนี้เราได้เรียนรู้วิธีการใช้แคลคูลัสโดยใช้พีชคณิต I เท่านั้นเรามาทำปัญหากัน

เราต้องการหาจุดที่เส้นสัมผัสเป็นเส้นขนานกับ # x # แกนและ # Y # แกน.

เราพบเส้นสัมผัสของเราที่ # (r s) # คือ

# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #

ขนานกับ # x # แกนหมายถึงสมการ #y = ข้อความ {ค่าคงที่} #. ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ใน # x # ต้องเป็นศูนย์:

# 2r + s = 0 #

#s = -2r #

# (r s) # อยู่บนโค้งดังนั้น # f (r s) = 0 #:

# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #

# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #

#r = pm sqrt {7/3} #

ตั้งแต่ # s = -2r # คะแนนคือ

# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) และ (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #

ในทำนองเดียวกันขนานกับแกน y หมายถึง # 2s + r = 0 # ซึ่งควรสลับ x และ y เนื่องจากสมมาตรของปัญหา ดังนั้นประเด็นอื่น ๆ คือ

# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) และ (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #

ตรวจสอบ

วิธีตรวจสอบ ทำพล็อตอัลฟ่ากัน

พล็อต x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }

ดูดี. แคลคูลัสบนเส้นโค้งพีชคณิต ค่อนข้างดีสำหรับโรงเรียนมัธยม