คุณจะหาสูตรของ MacLaurin สำหรับ f (x) = sinhx และใช้เพื่อประมาณ f (1/2) ภายใน 0.01 ได้อย่างไร

ตอบ:

#sinh (1/2) ~~ 0.52 #

คำอธิบาย:

เรารู้คำจำกัดความสำหรับ #sinh (x) #:

#sinh (x) = (E ^ x-E ^ -x) / 2 #

เนื่องจากเรารู้จักซีรี่ส์ของ Maclaurin สำหรับ # อี ^ x #เราสามารถใช้มันเพื่อสร้างหนึ่งสำหรับ #sinh (x) #.

# อี ^ x = sum_ (n = 0) ^ ^ oox n / (n) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3) … #

เราสามารถหาซีรี่ส์สำหรับ # อี ^ -x # โดยการแทนที่ # x # กับ # # -x:

# อี ^ = -x sum_ (n = 0) ^ OO (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ OO (-1) ^ n / (n) x ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3) … #

เราสามารถลบสองตัวนี้ออกจากกันเพื่อค้นหาตัวเศษของ # Sinh # ความหมาย:

#COLOR (สีขาว) (- e. ^ -x) จ ^ x = สี (สีขาว) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3) + x ^ 4 / (4) + x ^ 5 / (5) … #

#COLOR (สีขาว) (จ ^ x) ^ -e -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4) + x ^ 5 / (5!) … #

# อี ^ ^ XE -x = สี (สีขาว) (lllllllll) 2xcolor (สีขาว) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3) สี (สีขาว) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

เราจะเห็นได้ว่าคำศัพท์ทั้งหมดที่ยกเลิกและเงื่อนไขแปลก ๆ ทั้งหมดเป็นสองเท่า เราสามารถแสดงรูปแบบนี้ได้เช่น:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

เพื่อให้การ #sinh (x) # ซีรีส์เราแค่ต้องหารมันด้วย #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo cancel2 / (ยกเลิก 2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

ตอนนี้เราต้องการคำนวณ #f (1 / 2) # ด้วยความแม่นยำอย่างน้อย #0.01#. เรารู้รูปแบบทั่วไปของข้อผิดพลาดของลากรองจ์สำหรับพหุนามเทย์เลอร์ระดับ n # x = C #:

# | R_n (x) | <= | M / (! (n + 1)) (x-c) ^ (n + 1) | # ที่ไหน # M # เป็นขอบเขตสูงสุดบนอนุพันธ์อันดับที่ n ของช่วงเวลาจาก c # # ไปยัง # x #.

ในกรณีของเราการขยายตัวเป็นชุด Maclaurin ดังนั้น # c = 0 # และ # x = 1 / 2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)) (1/2) ^ (n + 1) | #

อนุพันธ์ลำดับที่สูงขึ้นของ #sinh (x) # จะเป็น #sinh (x) # หรือ #cosh (x) #. หากเราพิจารณาคำจำกัดความสำหรับพวกเขาเราจะเห็นว่า #cosh (x) # จะมีขนาดใหญ่กว่าเสมอ #sinh (x) #ดังนั้นเราควรออกกำลังกาย # M #มุ่งหน้าไป #cosh (x) #

ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิกโคไซน์เพิ่มขึ้นตลอดเวลาดังนั้นค่าที่มากที่สุดในช่วงเวลาจะอยู่ที่ #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (E ^ (1/2) + E ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

ตอนนี้เราเสียบสิ่งนี้เข้ากับข้อผิดพลาดของ Lagrange:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / (! (n + 1)) (1/2) ^ (n + 1) #

พวกเราต้องการ # | R_n (x) | # จะเล็กกว่า #0.01#ดังนั้นเราลองทำดู # n # ค่าจนกว่าเราจะไปถึงจุดนั้น (จำนวนเทอมที่น้อยลงในพหุนามยิ่งดี) เราพบว่า # n = 3 # เป็นค่าแรกที่จะทำให้เรามีข้อผิดพลาดน้อยกว่า #0.01#ดังนั้นเราต้องใช้พหุนามเทย์เลอร์ระดับ 3

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0.52 #