Extrema ทั่วโลกและท้องถิ่นของ f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) คืออะไร?

ตอบ:

# f (x) # มีค่าต่ำสุดสัมบูรณ์ที่ #(-1. 0)#

# f (x) # มีสูงสุดในท้องถิ่นที่ # (- 3, 4e ^ -3) #

คำอธิบาย:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # กฎผลิตภัณฑ์

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

สำหรับ extrema แบบสัมบูรณ์หรือแบบโลคอล: #f '(x) = 0 #

นั่นคือที่: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

ตั้งแต่ # e ^ x> 0 forall x ใน RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 หรือ -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # กฎผลิตภัณฑ์

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

อีกครั้งตั้งแต่ # อี ^ x> 0 # เราต้องการเพียงทดสอบสัญญาณของ # (x ^ 2 + 6x + 7) #

ที่จุด extrema ของเราเพื่อตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # เป็นขั้นต่ำ

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # สูงสุด

พิจารณากราฟของ # f (x) # ด้านล่างเป็นที่ชัดเจนว่า # f (-3) # เป็นค่าสูงสุดในท้องถิ่นและ # f (-1) # เป็นขั้นต่ำที่แน่นอน

กราฟ {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788, 2.005, -0.658, 3.24}

ในที่สุดการประเมินคะแนน extrema:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

และ

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0.199 #