U_1, u_2, u_3, ... อยู่ในความก้าวหน้าทางเรขาคณิต (GP) อัตราส่วนทั่วไปของข้อกำหนดในซีรีส์คือ K ตอนนี้หาผลรวมของอนุกรม u_1u_2 + u_2u_3 + u_3u_4 + ... + u_n u_ (n + 1) ในรูปแบบของ K และ u_1

ตอบ:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #

คำอธิบาย:

คำทั่วไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถเขียนได้:

#a_k = a r ^ (k-1) #

ที่ไหน # A # เป็นคำเริ่มต้นและ # R # อัตราส่วนทั่วไป

ผลรวมถึง # n # เงื่อนไขที่กำหนดโดยสูตร:

#s_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#COLOR (สีขาว) () #

ด้วยข้อมูลที่ระบุในคำถามสูตรทั่วไปสำหรับ # u_k # สามารถเขียนได้:

#u_k = u_1 K ^ (k-1) #

โปรดทราบว่า:

#u_k u_ (k + 1) = u_1 K ^ (k-1) * u_1 K ^ k = u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

ดังนั้น:

#sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1) = sum_ (k = 1) ^ n u_1 ^ 2 K ^ (2k-1) #

#color (white) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n (u_1 ^ 2 K) * (K ^ 2) ^ (k-1) #

#color (white) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = sum_ (k = 1) ^ n a r ^ (k-1) "" # ที่ไหน # A = ^ u_1 2K # และ #r = K ^ 2 #

#color (white) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #

#color (white) (sum_ (k = 1) ^ n u_k u_ (k + 1)) = (u_1 ^ 2K (1-K ^ (2n))) / (1-K ^ 2) #