แยกความแตกต่าง cos (x ^ 2 + 1) โดยใช้หลักการแรกของอนุพันธ์หรือไม่

ตอบ:

# -sin (x ^ 2 + 1) * 2x #

คำอธิบาย:

# d / dx cos (x ^ 2 + 1) #

สำหรับปัญหานี้เราต้องใช้กฎลูกโซ่เช่นเดียวกับความจริงที่ว่าอนุพันธ์ของ #cos (u) = -sin (u) #. โดยทั่วไปกฎลูกโซ่เพียงระบุว่าคุณสามารถรับฟังก์ชั่นภายนอกด้วยความเคารพต่อสิ่งที่อยู่ภายในฟังก์ชั่นแล้วคูณนี่ด้วยอนุพันธ์ของสิ่งที่อยู่ภายในฟังก์ชั่น

อย่างเป็นทางการ

# dy / dx = dy / (du) * (du) / dx #, ที่ไหน #u = x ^ 2 + 1 #.

ก่อนอื่นเราต้องหาอนุพันธ์ของบิตภายในโคไซน์นั่นคือ # 2x #. จากนั้นหลังจากพบอนุพันธ์ของโคไซน์ (ลบไซน์) เราก็คูณมันด้วย # 2x #.

# = - บาป (x ^ 2 + 1) * 2x #

ตอบ:

โปรดดูที่ด้านล่าง.

คำอธิบาย:

#f (x) = cos (x ^ 2-1) #

เราต้องไปหา

#lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / h = lim_ (hrarr0) (cos ((x + h) ^ 2-1) -cos (x ^ 2-1)) / h #

มามุ่งเน้นที่นิพจน์ที่เราต้องการขีด จำกัด

# (cos ((x ^ 2-1) + (2xh + H ^ 2)) - cos (x ^ 2-1)) / H #

# = (cos (x ^ 2-1) cos (2xh + h ^ 2) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) -cos (x ^ 2-1)) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / h - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) (2x + h) - sin (x ^ 2-1) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + H)) (2x + H) #

เราจะใช้ข้อ จำกัด ดังต่อไปนี้:

#lim_ (hrarr0) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) (ราคา -1) / t = 0 #

#lim_ (hrarr0) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) sint / t = 1 #

และ #lim_ (hrarr0) (2x + h) = 2x #

ในการประเมินขีด จำกัด:

#cos (x ^ 2-1) (0) (2x) - sin (x ^ 2-1) * (1) * (2x) = -2xsin (x ^ 2-1) #