Extrema ท้องถิ่นคืออะไรถ้ามีของ f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

ตอบ:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) ประมาณ 0.541 #

คำอธิบาย:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

การใช้กฎผลิตภัณฑ์

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

สำหรับสูงสุดในท้องถิ่นหรือต่ำสุด: #f '(x) = 0 #

ปล่อย # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 หรือ z = -2 #

ดังนั้นสำหรับสูงสุดหรือต่ำสุดในท้องถิ่น:

#lnx = 0 หรือ lnx = -2 #

#:. x = 1 หรือ x = e ^ -2 ประมาณ 0.135 #

ตอนนี้ตรวจสอบกราฟของ # x (LNX) ^ 2 # ด้านล่าง

กราฟ {x (lnx) ^ 2 -2.566, 5.23, -1.028, 2.87}

เราสามารถสังเกตได้ง่ายขึ้นว่า # f (x) # มีขั้นต่ำในท้องถิ่นที่ # x = 1 # และสูงสุดในท้องถิ่นที่ #x ใน (0, 0.25) #

ดังนั้น: #f_min = f (1) = 0 # และ #f_max = f (e ^ (- 2)) ประมาณ 0.541 #