ซูเปอร์ฮีโร่เปิดตัวตัวเองจากด้านบนของอาคารด้วยความเร็ว 7.3m / s ที่มุม 25 เหนือแนวนอน หากอาคารสูง 17 ม. เขาจะเดินทางไกลในแนวนอนก่อนถึงพื้นดิน ความเร็วสุดท้ายของเขาคืออะไร?

แผนภาพนี้จะมีลักษณะเช่นนี้:

สิ่งที่ฉันจะทำคือเขียนสิ่งที่ฉันรู้ เราจะเอา ลบเมื่อลง และ เหลือไว้เป็นบวก.

#h = "17 m" #

#vecv_i = "7.3 m / s" #

#veca_x = 0 #

#vecg = - "9.8 m / s" ^ 2 #

#Deltavecy =? #

#Deltavecx =? #

#vecv_f =? #

ส่วนที่หนึ่ง: การเสด็จขึ้นสู่สวรรค์

สิ่งที่ฉันจะทำคือหาที่ ปลาย คือการตรวจสอบ # Deltavecy #แล้วทำงานในสถานการณ์ที่ล้มฟรี โปรดทราบว่า ณ จุดสูงสุด #vecv_f = 0 # เพราะบุคคล เปลี่ยนทิศทาง โดยอาศัยอำนาจเด่นของแรงโน้มถ่วงในการลดองค์ประกอบแนวตั้งของความเร็ว ผ่านศูนย์ และเข้าสู่เชิงลบ

หนึ่งสมการที่เกี่ยวข้อง # vecv_i #, # vecv_f #และ # vecg # คือ:

# mathbf (vecv_ (fy) ^ 2 = vecv_ (iy) ^ 2 + 2vecgDeltavecy) #

ที่เราพูด #vecv_ (fy) = 0 # ที่จุดสูงสุด

ตั้งแต่ #vecv_ (fy) ^ 2 <vecv_ (iy) ^ 2 # และ #Deltavecy> 0 #, # Deltavecv_y ^ 2 <0 # และสมการนี้ขอให้เราใช้แน่นอน #g <0 #.

สำหรับส่วนหนึ่ง 1:

#color (สีน้ำเงิน) (Deltavecy) = (vecv_ (fy) ^ 2 - v_ (iy) ^ 2) / (2g) = สี (สีน้ำเงิน) ((- v_ (iy) ^ 2) / (2g))> 0 #

ที่ไหน #vecv_ (fy) = 0 # เป็นความเร็วสุดท้ายสำหรับชิ้นส่วน 1.

จำได้ว่าความเร็วแนวตั้งมี # sintheta # องค์ประกอบ (วาดสามเหลี่ยมมุมฉากและรับ #sintheta = (vecv_ (y)) / (vecv) # ความสัมพันธ์)

#color (เขียว) (Deltavecy = (-v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))> 0 #

ตอนนี้เรามี # Deltavecy # และเรารู้ว่า # vecv_y # มีการเปลี่ยนแปลงทิศทางเราสามารถสมมติ ฤดูใบไม้ร่วงฟรี กำลังเกิดขึ้น

ความสูงทั้งหมด ของการล่มสลายคือ #color (เขียว) (h + Deltavecy) #. นั่นคือสิ่งที่เราสามารถใช้เป็นส่วนหนึ่งได้ 2.

ฉันเข้าใจ # Deltavecy # เกี่ยวกับ # "0.485 m" # และ #h + Deltavecy # เกี่ยวกับ #color (สีน้ำเงิน) ("17.485 m") #.

ส่วนที่สอง: ความล้มเหลวฟรี

เราสามารถปฏิบัติต่อ # Y # ทิศทางเป็นอิสระจาก # x # ทิศทางตั้งแต่ #veca_x = 0 #.

ที่จุดสูงสุดโปรดจำไว้ว่า #color (เขียว) (vecv_ (iy) = 0) #ซึ่งเป็นความเร็วเริ่มต้นสำหรับชิ้นส่วน 2และเป็นความเร็วสุดท้ายในส่วนหนึ่ง 1. ตอนนี้เราสามารถใช้สมการจลนศาสตร์ 2D อีกอันได้ โปรดจำไว้ว่าความสูงรวมไม่ได้ # Deltavecy # ที่นี่แล้ว!

# mathbf (h + Deltavecy = 1 / 2g t_ "freefall" ^ 2) + ยกเลิก (v_ (iy) t_ "freefall") ^ (0) #

ตอนนี้เราสามารถแก้ปัญหาได้ในเวลาเดียวกับที่จะกระทบพื้นจากยอด

#color (เขียว) (t_ "freefall") = sqrt ((2 (h + Deltavecy)) / g) #

# = color (สีเขียว) (sqrt ((2 (h - (v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g))) / g)) #

และแน่นอนเวลาไม่ชัดเจนเลยดังนั้นเราสามารถเพิกเฉยคำตอบเชิงลบได้

… และเรากำลังไปถึงที่นั่น

ส่วนที่สาม: การแก้ไขสำหรับระยะทางแนวขอบฟ้า

เราสามารถใช้สมการจลนศาสตร์เดียวกันกับที่ตรวจสอบก่อนหน้านี้ได้อีกครั้ง หนึ่งในสิ่งที่เราทำคือ # deltaX #, ซึ่งเป็น:

#color (blue) (Deltax) = ยกเลิก (1 / 2a_xt ^ 2) ^ (0) + v_ (ix) t #

และเช่นเคยใช้ความสัมพันธ์ตรีโกณฯ เพื่อรับ # x # องค์ประกอบ (# costheta #).

# = color (blue) (vecv_icostheta * t_ "โดยรวม")> 0 #

ที่ไหน #t_ "โดยรวม" # ไม่ใช่สิ่งที่เรามีอยู่ 2แต่จะรวมถึงเวลา #t_ "ก้าวกระโดด" # จากอาคารไปยังจุดสูงสุดของเที่ยวบินและ #t_ "เหว" # ที่เราได้มาก่อนหน้านี้

#Deltay = 1 / 2vecg t_ "leap" ^ 2 + vecv_ (iy) t_ "leap" #

กับ #Deltay ~~ "0.485 m" #. เมื่อเราแก้ปัญหานี้โดยใช้สมการกำลังสองมันจะให้ผล:

#t_ "leap" = (- (vecv_ (iy)) + sqrt ((vecv_ (iy)) ^ 2 - 4 (1 / 2vecg) (- | Deltay |)) / (2 * 1 / 2vecg) #

# ~~ "0.3145 s" #

รวมเวลาที่ได้รับสำหรับเอเพ็กซ์ลงไปที่พื้นและคุณควรจะได้รับ #color (สีน้ำเงิน) ("2.20 s") # สำหรับเที่ยวบินทั้งหมด เรียกสิ่งนี้ว่า #t_ "โดยรวม" #.

#t_ "โดยรวม" = t_ "leap" + t_ "freefall" #

การใช้ #t_ "โดยรวม" #, ฉันเข้าใจ #color (สีน้ำเงิน) (Deltavecx ~~ "14.58 m") #.

ส่วนที่สี่: การแก้ไขเพื่อความบริสุทธิ์ขั้นสุดท้าย

ตอนนี้จะต้องใช้ความคิดอีกเล็กน้อย เรารู้ว่า #h = "17 m" # และเรามี # deltaX #. ดังนั้นเราสามารถกำหนดมุมที่เกี่ยวกับพื้นราบ

#tantheta '= (h + Deltavecy) / (Deltavecx) #

#color (สีน้ำเงิน) (theta '= arctan ((h + Deltavecy) / (Deltavecx))) #

สังเกตวิธีที่เราใช้ #h + Deltavecy # เนื่องจากที่จริงแล้วเรากระโดดขึ้นไปก่อนที่จะตกลงมาและเราก็ไม่ได้กระโดดไปข้างหน้า ดังนั้นมุม # theta # ที่เกี่ยวข้องกับการ # deltaX # และ ความสูงทั้งหมดและเราจะรับ ขนาด ของความสูงทั้งหมดสำหรับสิ่งนี้

และในที่สุดตั้งแต่ # vecv_x # ไม่ได้เปลี่ยนแปลงตลอดเวลา (เราเพิกเฉยต่อความต้านทานอากาศที่นี่):

#color (สีเขียว) (vecv_ (fx)) = vecv_ (ix) = vecv_fcostheta '= สี (สีเขียว) (vecv_icostheta')> 0 #

ที่ไหน # vecv_i # คือความเร็วเริ่มต้นจากส่วนหนึ่ง 1. ตอนนี้เราแค่ต้องรู้ว่าอะไร #vecv_ (fy) # เป็นส่วนหนึ่ง 2. กลับไปที่จุดเริ่มต้นเพื่อดู:

#vecv_ (fy) ^ 2 = ยกเลิก (vecv_ (iy) ^ 2) ^ (0) + 2vecg * (h + Deltavecy) #

ดังนั้นสิ่งนี้จะกลายเป็น:

#color (เขียว) (vecv_ (fy) = -sqrt (2vecg * (h + Deltavecy))) <0 #

จำไว้ว่าเรากำหนดไว้ ลงเป็นลบดังนั้น # h + Deltay <0 #.

โอเคพวกเราเกือบจะตรงนั้นแล้ว เราถูกถามถึง # vecv_f #. ดังนั้นเราจึงเสร็จสิ้นโดยใช้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส.

# vecv_f ^ 2 = vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2 #

#color (สีน้ำเงิน) (vecv_f = -sqrt (vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2)) <0 #

โดยรวม, #color (สีน้ำเงิน) (| vecv_f | ~~ "19.66 m / s") #.

และนั่นจะเป็นทั้งหมด! ตรวจสอบคำตอบของคุณและบอกฉันว่ามันได้ผล

ที่นี่ vel ของการฉาย # v = 7.3ms ^ -1 #

มุม ของการฉาย# อัลฟา = 25 ^ 0 # เหนือแนวนอน

องค์ประกอบแนวตั้งขึ้นด้านบนของ vel ของเส้นโครง# vsinalpha = 7.3 * sin25 ^ 0 = 7.3 * 0.42ms ^ -1 ~~ 3.07ms ^ -1 #

อาคารที่มีความสูง 17 เมตรการกระจัดในแนวดิ่งถึงพื้นจะเป็น # H = -17m # ตามที่ซูเปอร์ฮีโร่คาดการณ์ตัวเองสูงขึ้น (มองโลกในแง่ดีที่นี่)

ถ้าเวลาของเที่ยวบินคือเวลาที่ไปถึงพื้นดินจะเป็น T

จากนั้นใช้สูตร #h = vsinalpha * t-1/2 * g * t ^ 2 # เราสามารถมี

# => - 17 = 3.07 * T-0.5 * 9.8 * T ^ 2 #

# => 4.9T ^ 2-3.07T-17 = 0 #

หารทั้งสองข้างด้วย 4.9 เราจะได้

# => T ^ 2-0.63T-3.47 = 0 #

# => T = (0.63 + sqrt ((- 0.63) ^ 2-4 * 1 * (- 3.47))) / 2 ~~ 2.20s #

(เวลาลบถูกทิ้ง)

ดังนั้นการกำจัดในแนวนอนของฮีโร่ก่อนถึงพื้นจะเป็น

# = T * vcosalpha = 2.20 ** 7.3cos (25 ^ 0) ~~ 14.56m #

การคำนวณความเร็วในเวลาที่ถึงพื้นดิน

ความเร็วองค์ประกอบแนวตั้งในเวลาที่ถึงพื้น

# v_y ^ 2 = u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9.8) xx (-17) #

องค์ประกอบแนวนอนอีกครั้งของความเร็วในเวลาที่มาถึงพื้นดิน

# => v_x = ucosalpha #

ดังนั้นความเร็วที่เกิดขึ้นเมื่อถึงพื้นดิน

# v_r = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) = sqrt (U ^ ^ 2sin 2alpha + U ^ ^ 2cos 2alpha-2xx9.8xx17) #

# => v_r = sqrt (U ^ 2 + 2xx9.8xx17) #

# => v_r = sqrt (7.3 ^ 2 + 2xx9.8xx17) = 19.66 "m / s" #

ทิศทางของ # v_r # กับแนวนอน# = สีน้ำตาล ^ -1 (v_y / v_x) #

# = สีน้ำตาล ^ -1 (sqrt (U ^ ^ 2sin 2alpha + 2xx (-9.8) xx (-17)) / (ucosalpha)) #

# = tan ^ -1 (sqrt (7.3 ^ 2sin ^ 2 25 + 2xx (-9.8) xx (-17)) / (7.3cos25)) #

# = 70.3 ^ @ -> "ลงไปตามแนวนอน" #

มีประโยชน์หรือไม่?