อินทิกรัลของ e ^ (x ^ 3) คืออะไร?

คุณไม่สามารถแสดงอินทิกรัลนี้ในแง่ของฟังก์ชันพื้นฐาน

คุณอาจเลือกวิธีการรวมหรือวิธีอื่นทั้งนี้ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณต้องการรวม

บูรณาการผ่านชุดไฟ

จำได้ว่า # อี ^ x # กำลังวิเคราะห์อยู่ #mathbb {R} #ดังนั้น #forall x ใน mathbb {R} # ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้ถือ

# อี ^ x = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #

และนี่หมายความว่า

# อี ^ {x ^ 3} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #

ตอนนี้คุณสามารถรวม:

#int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #

บูรณาการผ่านฟังก์ชั่นแกมมาที่ไม่สมบูรณ์

ก่อนอื่นทดแทน # t = -x ^ 3 #:

#inte ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

ฟังก์ชั่น # อี ^ {x ^ 3} # อย่างต่อเนื่อง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชั่นดั้งเดิมของมันคือ #F: mathbb {R} ถึง mathbb {R} # ดังนั้น

#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #

และนี่ถูกนิยามไว้อย่างดีเพราะฟังก์ชัน # f (t) = E ^ {- t} T ^ {- 2/3} # เป็นเช่นนั้นสำหรับ #t ถึง 0 # มันถือ #f (t) ~~ t ^ {- 2/3} #เพื่อให้อินทิกรัลไม่ถูกต้อง # int_0 ^ s f (t) dt # มี จำกัด (ฉันโทร # s = -y ^ 3 #).

ดังนั้นคุณมีสิ่งนั้น

#inte ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #

ให้สังเกตว่า #t ^ {- 2/3} <1 hArr t> 1 #. ซึ่งหมายความว่าสำหรับ #t ถึง + infty # เราเข้าใจแล้ว #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, ดังนั้น # | int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #. ดังนั้นการทำตามส่วนที่ไม่เหมาะสมของ # f (t) # มี จำกัด:

# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3) #.

เราสามารถเขียน:

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #

นั่นคือ

#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.

ในที่สุดเราก็ได้

#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 แกมม่า (1/3, t) = C + 1/3 แกมม่า (1/3, -x ^ 3) #