เมื่อใช้ตัวคูณ langrage สำหรับแคลคูลัส 3 ... ให้บอกว่าฉันได้พบจุดวิกฤติแล้วและได้รับค่าจากมัน ฉันจะรู้ได้อย่างไรว่ามันเป็นค่าต่ำสุดหรือสูงสุด?

ตอบ:

วิธีหนึ่งที่เป็นไปได้คือ Hessian (การทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่ 2)

คำอธิบาย:

โดยทั่วไปเพื่อตรวจสอบว่าจุดวิกฤติเป็นนาทีหรือสูงสุดคุณมักจะใช้การทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่สองซึ่งคุณจะต้องค้นหาอนุพันธ์ 4 ส่วนโดยสมมติว่า # f (x, y) #:

# f _ { "xx"} (x, y) #, # f _ { "เซ็กซี่"} (x, y) #, # f _ { "YX"} (x, y) #และ # f _ { "yy"} (x, y) #

สังเกตว่าถ้าทั้งคู่ # f _ { "เซ็กซี่"} # และ # f _ { "YX"} # มีความต่อเนื่องในภูมิภาคที่น่าสนใจพวกเขาจะเท่ากัน

เมื่อคุณได้นิยามไว้ 4 ข้อแล้วคุณสามารถใช้เมทริกซ์พิเศษที่เรียกว่า Hessian เพื่อค้นหาดีเทอร์มีแนนต์ของเมทริกซ์นั้น (ซึ่งทำให้สับสนพอสมควรซึ่งมักถูกเรียกว่า Hessian เช่นกัน) ซึ่งจะให้ข้อมูลบางอย่างเกี่ยวกับ ธรรมชาติของประเด็น ดังนั้นให้นิยาม Hessian Matrix เป็น:

#H = | (f_ {"xx"} สี (สีขาว) (, aa) f_ {xy}), (f_ {yx} สี (สีขาว) (, aa) f_ {yy}) | #

เมื่อคุณสร้างเมทริกซ์นั้นขึ้นแล้ว (และมันจะเป็นเมทริกซ์ "ฟังก์ชั่น" เนื่องจากเนื้อหาจะเป็นฟังก์ชั่นของ x และ y) จากนั้นคุณสามารถรับหนึ่งในจุดวิกฤติของคุณและประเมินเมทริกซ์ดีเทอร์มิแนนต์ทั้งหมด กล่าวคือ:

#det (H) = (f_ {"xx"} (x_0, y_0) * f_ {"yy"} (x_0, y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0, y_0)) ^ 2 #

ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ของการคำนวณนั้นคุณอาจเรียนรู้ลักษณะของจุดวิกฤติ:

ถ้า #H> 0 #ณ จุดนั้นมีนาที / สูงสุด ตรวจสอบสัญลักษณ์ # f _ { "xx"} #. ถ้ามันเป็นบวกจุดคือนาที ถ้ามันเป็นลบจุดคือสูงสุด (นี่คล้ายคลึงกับการทดสอบอนุพันธ์ครั้งที่ 2 แบบดั้งเดิมสำหรับฟังก์ชั่นตัวแปรเดี่ยวของ x)

ถ้า #H <0 #มีจุดอานที่จุดนั้น

ถ้า #H = 0 #การทดสอบนั้นไม่สามารถสรุปได้และคุณต้องพึ่งพาวิธีการอื่นเช่นกราฟของฟังก์ชั่นในการตรวจสอบด้วยสายตา