Y = f (x) จะได้รับกราฟ, y = f (3x) -2 และ y = -f (x-1)?

ตอบ:

ไม่มีกระดาษกราฟที่มีประโยชน์ - ดังนั้นฉันหวังว่าคำอธิบายจะช่วยได้!

คำอธิบาย:

สำหรับ # การ y = f (3x) -2 # เป็นครั้งแรก บีบ กราฟที่กำหนดตาม # x # แกนโดยปัจจัย 3 (เพื่อให้มือซ้ายพูดขั้นต่ำเกิดขึ้นที่ # x = -2/3 #) แล้วกดกราฟทั้งหมด ลง โดย 2 หน่วย ดังนั้นกราฟใหม่จะมีค่าต่ำสุดที่ #x = -2 / 3 # ด้วยค่าของ # y = -2 #สูงสุดที่ #(0,0)# และอีกขั้นต่ำที่ #(4/3, -4)#

สำหรับ # การ y = -f (x-1) # ก่อนอื่นให้เปลี่ยนกราฟ 1 หน่วยเป็น ขวา แล้วพลิกคว่ำ! ดังนั้นกราฟใหม่จะมีสองค่า แม็กซิม่า ที่ #(-1,0)# และ #(5,2)# และขั้นต่ำที่ #(1,-2) #

ตอบ:

นี่คือคำอธิบายโดยละเอียดเพิ่มเติม

คำอธิบาย:

ปัญหาเป็นกรณีพิเศษของปัญหาทั่วไปมากขึ้น:

รับกราฟสำหรับ # การ y = f (x) #กราฟของอะไรคือ #y = a f (b x + c) + d # ?

(อันแรกคือสำหรับ # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #ในขณะที่สองสำหรับ # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

ฉันจะพยายามอธิบายคำตอบเป็นขั้นตอนโดยการแก้ปัญหาทีละขั้นตอน มันจะเป็นคำตอบที่ค่อนข้างยาว - แต่หวังว่าหลักการทั่วไปจะชัดเจนในตอนท้ายของมัน

สำหรับภาพประกอบฉันจะใช้เส้นโค้งเฉพาะที่ฉันแสดงด้านล่าง แต่ความคิดจะทำงานโดยทั่วไป

(ถ้าใครสนใจฟังก์ชั่นที่กำลังวางแผนอยู่ที่นี่คือ #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) ระบุกราฟสำหรับ # การ y = f (x) #กราฟของอะไรคือ #y = f (x) + d # ?

อันนี้เป็นเรื่องง่าย - สิ่งที่คุณต้องทำคือให้สังเกตว่าถ้า # (x, y) # คือจุดบนกราฟแรกจากนั้น # (x, y + D) # เป็นจุดที่สอง ซึ่งหมายความว่ากราฟที่สองสูงกว่าระยะทางแรก # d # (แน่นอนถ้า # d # เป็นลบมันต่ำกว่ากราฟแรกโดย # | d | #).

ดังนั้นกราฟของ # การ y = f (x) + 1 # จะ

อย่างที่คุณเห็นกราฟสำหรับ #y = f (x) + 1 # (เส้นสีม่วงทึบ) หาได้จากการกดกราฟ # การ y = f (x) # (เส้นประสีเทา) ขึ้น โดยหนึ่งหน่วย

กราฟสำหรับ # การ y = f (x) -1 # สามารถพบได้โดยการกดกราฟต้นฉบับ ลง โดยหนึ่งหน่วย:

2) รับกราฟสำหรับ # การ y = f (x) #กราฟของอะไรคือ #y = f (x + c) # ?

มันง่ายที่จะเห็นว่าถ้า # (x, y) # เป็นจุดบน # การ y = f (x) # กราฟแล้ว # (x-C, y) # จะเป็นจุดใน #y = f (x + c) # กราฟ. ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถรับกราฟของ #y = f (x + c) # จากกราฟของ #y = f (x) # เพียงแค่เลื่อนมันไปที่ ซ้าย โดย c # # (แน่นอนถ้า c # # เป็นลบคุณต้องเลื่อนกราฟต้นฉบับด้วย # | C | # ไปทางขวา.

เป็นตัวอย่างกราฟสำหรับ # การ y = f (x + 1) # สามารถพบได้โดยกดกราฟต้นฉบับไปที่ ซ้าย โดยหนึ่งหน่วย:

ในขณะที่สำหรับ # การ y = f (x-1) # เกี่ยวข้องกับการผลักกราฟต้นฉบับไปที่ ขวา โดยหนึ่งหน่วย:

3) รับกราฟสำหรับ # การ y = f (x) #กราฟของอะไรคือ #y = f (bx) # ?

ตั้งแต่ #f (x) = f (b คูณ x / b) # มันเป็นไปตามนั้นถ้า # (x, y) # เป็นจุดบน #y = f (x) # กราฟแล้ว # (x / b, y) # เป็นจุดบน # การ y = f (BX) # กราฟ.

ซึ่งหมายความว่าต้องมีกราฟดั้งเดิม บีบ โดยปัจจัย # B # ไปพร้อม ๆ กับ # x # แกน. แน่นอนว่าการบีบโดย # B # เป็นจริง การยืด โดย # 1 / b # สำหรับกรณีที่ # 0 <b <1 #

กราฟสำหรับ # การ y = f (2x) # คือ

โปรดทราบว่าในขณะที่ความสูงยังคงเหมือนเดิมที่ 1 ความกว้างจะลดลงเป็น 2 เท่าโดยเฉพาะอย่างยิ่งจุดสูงสุดของเส้นโค้งเดิมได้เปลี่ยนจาก # x = 1 # ไปยัง # x = 2/1 #.

ในทางกลับกันกราฟสำหรับ # การ y = f (x / 2) # คือ

โปรดทราบว่ากราฟนี้กว้างเป็นสองเท่า (บีบด้วย #1/2# เป็นเช่นเดียวกับการยืดโดยปัจจัย 2) และจุดสูงสุดได้ย้ายจาก # x = 1 # ไปยัง # x = 2 #.

ต้องกล่าวถึงเป็นพิเศษในกรณีที่ # B # เป็นลบ เป็นการดีที่สุดที่จะคิดว่านี่เป็นกระบวนการสองขั้นตอน

• ขั้นแรกให้หากราฟของ # การ y = f (-x) #แล้ว
• บีบกราฟผลลัพธ์ด้วย # | ข | #

โปรดทราบว่าสำหรับแต่ละจุด # (x, y) # ของกราฟต้นฉบับจุด # (- x, y) # เป็นจุดบนกราฟของ # การ y = f (-x) # - ดังนั้นจึงสามารถพบกราฟใหม่ได้โดยแสดงกราฟเก่าเกี่ยวกับ # Y # แกน.

ในฐานะที่เป็นภาพประกอบของกระบวนการสองขั้นตอนให้พิจารณากราฟของ # การ y = f (-2x) # แสดงด้านล่าง:

นี่คือส่วนโค้งดั้งเดิมที่ใช้สำหรับ # การ y = f (x) # ถูกพลิกครั้งแรกเกี่ยวกับ # Y # แกนเพื่อให้ได้เส้นโค้งสำหรับ # การ y = f (-x) # (เส้นสีฟ้าบาง) สิ่งนี้จะถูกบีบด้วยปัจจัย #2# เพื่อให้ได้เส้นโค้งสำหรับ # การ y = f (-2x) # - เส้นโค้งสีม่วงหนา

4) รับกราฟสำหรับ # การ y = f (x) #กราฟของอะไรคือ #y = af (x) # ?

รูปแบบเหมือนกันที่นี่ - ถ้า # (x, y) # คือจุดบนส่วนโค้งเดิมแล้ว # (x, Ay) # เป็นจุดบนกราฟของ # การ y = af (x) #

ซึ่งหมายความว่าในเชิงบวก # A #กราฟยืดตัวด้วยปัจจัย # A # ไปพร้อม ๆ กับ # Y # แกน. อีกครั้งค่าของ # A # ระหว่าง 0 ถึง 1 หมายความว่าแทนที่จะยืดออกเส้นโค้งจะถูกบีบด้วยปัจจัย # 1 / a # ไปพร้อม ๆ กับ # Y # แกน.

เส้นโค้งด้านล่างใช้สำหรับ # y = 2f (x) #

โปรดทราบว่าในขณะที่จุดสูงสุดเป็นค่าเดียวกัน # x # - ความสูงของมันเพิ่มขึ้นเป็น 2 เท่าจาก 1 แน่นอนว่ามันไม่ใช่จุดสูงสุดเท่านั้นที่ยืดออก - # Y # พิกัดของทุกจุดของเส้นโค้งเดิมได้รับการเพิ่มเป็นสองเท่าเพื่อให้ได้เส้นโค้งใหม่

รูปด้านล่างแสดงให้เห็นถึงการบีบที่เกิดขึ้นเมื่อ #0<>

อีกครั้งกรณีสำหรับ รุ่น A ประเภทสิทธิ <0 # ดูแลเป็นพิเศษ - และมันจะดีกว่าถ้าคุณทำในสองขั้นตอน

1. ก่อนพลิกเส้นโค้งคว่ำลง # X # แกนเพื่อให้ได้เส้นโค้งสำหรับ # การ y = -f (x) #
2. ยืดเส้นโค้งโดย # | คุณ | # ไปพร้อม ๆ กับ # Y # แกน.

ส่วนโค้งสำหรับ # การ y = -f (x) # คือ

ในขณะที่ภาพด้านล่างแสดงให้เห็นถึงสองขั้นตอนที่เกี่ยวข้องในการวาดเส้นโค้งสำหรับ #y = -2f (x) #

วางมันทั้งหมดเข้าด้วยกัน

ตอนนี้เราได้ผ่านแต่ละขั้นตอนมาแล้วให้เราพาพวกเขาทั้งหมดเข้าด้วยกัน! ขั้นตอนการวาดเส้นโค้งสำหรับ

# y = a f (bx + c) + d #

เริ่มต้นจาก # การ y = f (x) # ประกอบด้วยขั้นตอนต่อไปนี้เป็นหลัก

1. เขียนกราฟของ # การ y = f (x + c) #: เลื่อนกราฟตามระยะทาง c # # ไปทางซ้าย
2. แล้วพล็อตเรื่องของ #y = f (bx + c) #: บีบเส้นโค้งที่คุณได้รับจากขั้นตอนที่ 1 ใน # X # ทิศทางโดยปัจจัย # | ข | #, ก่อนอื่นให้พลิกเกี่ยวกับ # Y # แกนถ้า รุ่น B ประเภทสิทธิ <0 #)
3. จากนั้นพล็อตกราฟของ # การ y = af (BX + C) #: ปรับขนาดเส้นโค้งที่คุณได้รับจากขั้นตอนที่ 2 เป็นปัจจัย # A # ในทิศทางแนวตั้ง
4. ในที่สุดดันเส้นโค้งที่คุณได้รับในขั้นตอนที่ 3 ขึ้นเป็นระยะทาง # d # เพื่อรับผลสุดท้าย

แน่นอนคุณต้องดำเนินการทั้งสี่ขั้นตอนเฉพาะในกรณีที่รุนแรง - บ่อยครั้งที่ขั้นตอนจำนวนน้อยจะทำ! นอกจากนี้ลำดับของขั้นตอนก็มีความสำคัญเช่นกัน

ในกรณีที่คุณสงสัยขั้นตอนเหล่านี้จะตามมาจากความจริงที่ว่าถ้า # (x, y) # เป็นจุดบน # การ y = f (x) # กราฟแล้วจุด

# ({x-c} / b, ay + d) # อยู่บน # การ y = af (BX + C) + D # กราฟ.

ขอยกตัวอย่างกระบวนการด้วยฟังก์ชั่นของเรา # f (x) #. ให้เราพยายามสร้างกราฟสำหรับ #y = -2f (2x + 3) + 1 #

ครั้งแรก - เลื่อนไปทางซ้าย 3 หน่วย

จากนั้น: บีบโดยปัจจัย 2 พร้อม # X # แกน

จากนั้นให้หมุนกราฟไปที่ประมาณ # X # แกนแล้วปรับสัดส่วนด้วย 2 ตาม # Y #

ในที่สุดขยับเส้นโค้งขึ้น 1 หน่วย - และเราทำเสร็จแล้ว!