ระยะเวลาของ f (t) = sin (t / 36) + cos ((t) / 42) คืออะไร?

ตอบ:

#T = 504pi #

คำอธิบาย:

ก่อนอื่นเรารู้อย่างนั้น #sin (x) # และ #cos (x) # มีช่วงเวลาของ # 2pi #.

จากนี้เราสามารถหักมันได้ #sin (x / k) # มีช่วงเวลาของ # k * 2pi #: คุณสามารถคิดได้ # x / k # เป็นตัวแปรที่ทำงานที่ # 1 / k # ความเร็วของ # x #. ตัวอย่างเช่น # x / 2 # ทำงานที่ความเร็วครึ่งหนึ่งของ # x #และมันจะต้อง # 4pi # ที่จะมีช่วงเวลาแทน # 2pi #.

ในกรณีของคุณ #sin (t / 36) # จะมีช่วงเวลา # 72pi #และ #cos (t / 42) # จะมีช่วงเวลา # 84pi #.

ฟังก์ชันส่วนกลางของคุณคือผลรวมของฟังก์ชันสองคาบ ตามคำนิยาม # f (x) # เป็นงวดกับรอบระยะเวลา # T # ถ้า # T # เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดเช่นนั้น

#f (x + T) = f (x) #

และในกรณีของคุณสิ่งนี้แปลเป็น

#sin (t / 36 + T) + cos (t / 42 + T) = sin (t / 36) + cos (t / 42) #

จากที่นี่คุณจะเห็นว่าช่วงเวลาของ # f (x) # ไม่สามารถเป็น # 72pi # ไม่ # 84pi #เนื่องจากมีเพียงหนึ่งในสองเทอมเท่านั้นที่จะเปลี่ยนทั้งหมดในขณะที่อีกเทอมจะถือว่ามีค่าที่ต่างกัน และเนื่องจากเราต้องการ ทั้งสอง ข้อตกลงที่จะทำให้ทั้งเทิร์นเราต้องใช้ตัวคูณร่วมน้อยระหว่างสองช่วงเวลา:

#lcm (72pi, 84pi) = 504pi #

ตอบ:

# 1512pi #.

คำอธิบาย:

ค่า P ที่เป็นบวกน้อยที่สุด (ถ้ามี) เช่นนั้น f (t + P) = f (t) จึงเหมาะสม

เรียกว่าระยะเวลาของ f (t) สำหรับ P นี้ f (t + nP) = f (t), n = + - 1,, + -2, + -3, … #

สำหรับ #sin t และ cos t, P = 2pi. #

สำหรับ #sin kt และ cos kt, P = 2 / kpi. #

ที่นี่

ระยะเวลาสำหรับ #sin (t / 36) # คือ pi / 18 # และ

สำหรับ #cos (t / 42) #, มันคือ # ปี่ / 21 #.

สำหรับความผันผวนที่ได้รับประกอบ f (t), ระยะเวลา P ควรเป็น

เช่นนี้ยังเป็นระยะเวลาสำหรับข้อกำหนดที่แยกต่างหาก

P นี้มอบให้โดย # P = M (pi / 18) = N (pi / 21) สำหรับ M = 42 และ N = 36

# P = 1,512 pi #

ตอนนี้ดูวิธีการทำงาน

# f (t + 1512pi) #

# = sin (t / 36 + 42pi) + cos (t / 42 + 36pi) #

# = sin (t / 36) + cos (t / 42) #

# = f (t)

ถ้าแบ่งครึ่ง P ถึง 761 และนี่คือคี่ ดังนั้น P = 1512 เป็นไปได้น้อยที่สุด

แม้หลาย ๆ # # ปี่.