คุณจะหา extrema สำหรับ g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) ได้อย่างไร?

ตอบ:

#G (x) # ไม่มีค่าสูงสุดและต่ำสุดทั่วโลกและท้องถิ่น # x = -1 #

คำอธิบาย:

โปรดทราบว่า:

# (1) "" x ^ 2 + 2x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) ^ 2 + 4> 0 #

ดังนั้นฟังก์ชั่น

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #

ถูกกำหนดไว้สำหรับทุกคน #x ใน RR #.

นอกจากนี้ยังเป็น #f (y) = sqrty # เป็นฟังก์ชั่นการเพิ่มเสียงเดียว #G (x) # ยังเป็นสุดขีดสำหรับ:

#f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

แต่นี่คือพหุนามอันดับที่สองที่มีสัมประสิทธิ์นำที่เป็นบวกดังนั้นจึงไม่มีค่าสูงสุดและต่ำสุดในท้องถิ่น

จาก #(1)# เราสามารถเห็นได้อย่างง่ายดายว่า:

# (x + 1) ^ 2> = 0 #

และ:

# x + 1 = 0 #

เฉพาะเมื่อ # x = -1 #จากนั้น:

#f (x)> = 4 #

และ

#f (x) = 4 #

เพียงเพื่อ # x = -1 #.

ดังนั้น:

#g (x)> = 2 #

และ:

#g (x) = 2 #

เพียงเพื่อ # x = -1 #.

เราสามารถสรุปได้ว่า #G (x) # ไม่มีค่าสูงสุดและต่ำสุดทั่วโลกและท้องถิ่น # x = -1 #

#G (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #, # x ##ใน## RR #

พวกเราต้องการ # x ^ 2 + 2x + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_g = RR #

# AA ## x ##ใน## RR #:

#G '(x) = ((x ^ 2 + 2x + 5)') / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (2x + 2) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (x + 1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)> 0) #

#G '(x) = 0 # #<=># # (x = -1) #

• สำหรับ # x <-1 # เรามี #G '(x) <0 # ดังนั้น # G # มีการลดลงอย่างเคร่งครัด # (- OO, -1 #

• สำหรับ # x> ##-1# เรามี #G '(x)> 0 # ดังนั้น # G # กำลังเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด # - 1 + OO) #

ด้วยเหตุนี้ #G (x)> = กรัม (-1) = 2> 0 #, # AA ## x ##ใน## RR #

ผลที่ตามมา # G # มีขั้นต่ำทั่วโลกที่ # x_0 = -1 #, #G (-1) = 2 #