ให้ RR แทนชุดจำนวนจริง ค้นหาฟังก์ชันทั้งหมด f: RR-> RR, abs ที่น่าพอใจ (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) สำหรับทุก x, y เป็นของ RR?

ให้ RR แทนชุดจำนวนจริง ค้นหาฟังก์ชันทั้งหมด f: RR-> RR, abs ที่น่าพอใจ (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) สำหรับทุก x, y เป็นของ RR?
Anonim

ตอบ:

#f (x) = pm 2 x + C_0 #

คำอธิบาย:

ถ้า #abs (f (x) -f (y)) = 2abs (x-y) # แล้วก็ # f (x) # คือ Lipschitz อย่างต่อเนื่อง ดังนั้นฟังก์ชั่น # f (x) # เป็น differentiable จากนั้นติดตาม

#abs (f (x) -f (y)) / (เอบีเอส (x-y)) = 2 # หรือ

#abs ((f (x) -f (y)) / (x-y)) = 2 # ตอนนี้

#lim_ (x-> y) เอบีเอส ((f (x) -f (y)) / (XY)) = เอบีเอส (lim_ (x-> y) (f (x) -f (y)) / (XY)) = abs (f '(y)) = 2 #

ดังนั้น

#f (x) = pm 2 x + C_0 #