Tan3x = 3Tanx-Tan ^ 3x โดย 1-3tan ^ 2x พิสูจน์ไหม?

ตอบ:

กรุณาผ่าน พิสูจน์ ใน คำอธิบาย

คำอธิบาย:

เรามี, #tan (x + y) = (Tanx + Tany) / (1-tanxtany) ………… (เพชร) #.

ปล่อยให้ # x = y = A #, เราได้รับ, #tan (A + A) = (+ Tana Tana) / (1-Tana * Tana) #.

#:. tan2A = (2tanA) / (1-Tan ^ 2A) ………… (diamond_1) #.

ตอนนี้เรารับ # (เพชร), x = 2A, และ, y = A #.

#:. สีน้ำตาล (2A + A) = (tan2A + Tana) / (1-tan2A * Tana) #.

#:. tan3A = {(2tanA) / (1-Tan ^ 2A) + Tana} / {1- (2tanA) / (1-Tan ^ 2A) * Tana} #, # = {(2tanA + Tana (1-Tan ^ 2A)) / (1-Tan ^ 2A)} -: {1- (2tan ^ 2A) / (1-Tan ^ 2A)} #, # = (2tanA + ธ นาตาล ^ 3A) / (1-Tan ^ 2A-2tan ^ 2A) #.

# rArr tan3A = (3tanA-tan ^ 3A) / (1-3tan ^ 2A) #, ตามที่ต้องการ!

เรามาจากหลักการแรกจาก De Moivre:

#cos 3 x + i sin 3x = (เพราะ x + i sin x) ^ 3 #

ใช้ #1,3,3,1# แถวของสามเหลี่ยมปาสคาล

#cos 3 x + i sin 3x #

# = cos ^ 3 x + 3 cos ^ 2 x (i sin x) + 3 cos x (i ^ 2 sin ^ 2 x) + i ^ 3 sin ^ 3 x #

# = (cos ^ 3 x- 3 cos x sin ^ 2 x) + i (3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x) #

การเทียบส่วนต่าง ๆ ของจริงและจินตภาพ

# cos 3 x = cos ^ 3 x- 3 cos x sin ^ 2 x #

# sin 3x = 3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x #

นั่นคือ (รูปแบบที่ค่อนข้างคลุมเครือ) สูตรสามมุมและโดยทั่วไปแล้วเราแค่เขียนมันลงในแบบฟอร์มมาตรฐานและเริ่มจากตรงนี้

# tan 3x = frac {sin 3x} {cos 3x} = frac {3 cos ^ 2 x sin x - sin ^ 3 x} {cos ^ 3 x- 3 cos x sin ^ 2 x} cdot frac {1 / cos ^ 3 x} {1 / cos ^ 3 x} #

#tan 3x = frac {3 ตัน x - แทน ^ 3 x} {1 - 3 ตัน ^ 2 x} quad square #