Orthocenter ของรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดที่ O (0,0), P (a, b), และ Q (c, d) # คืออะไร?

ตอบ:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

คำอธิบาย:

ฉันได้สรุปคำถามเก่า ๆ นี้แทนที่จะถามคำถามใหม่ ฉันทำสิ่งนี้มาก่อนเพื่อตั้งคำถามเกี่ยวกับการเข้าสุหนัตและไม่มีอะไรเลวร้ายเกิดขึ้นดังนั้นฉันจึงดำเนินการซีรีส์ต่อไป

ก่อนหน้านี้ฉันวางจุดยอดหนึ่งจุดที่จุดเริ่มต้นเพื่อพยายามรักษาพีชคณิตที่ใช้การได้ รูปสามเหลี่ยมโดยพลการถูกแปลอย่างง่ายดายและแปลผลลัพธ์กลับมาได้อย่างง่ายดาย

orthocenter คือจุดตัดของระดับความสูงของรูปสามเหลี่ยม การดำรงอยู่ของมันขึ้นอยู่กับทฤษฎีบทว่าระดับความสูงของรูปสามเหลี่ยมตัดกัน ณ จุดหนึ่ง เราบอกว่าทั้งสามระดับความสูงคือ พร้อมกัน.

มาพิสูจน์ความสูงของสามเหลี่ยม OPQ กันพร้อมกัน

เวกเตอร์ทิศทางของ OP ด้านคือ # P-O = P = (A, B) # ซึ่งเป็นเพียงวิธีแฟนซีในการพูดความลาดชัน # / b # (แต่เวกเตอร์ทิศทางยังใช้งานได้เมื่อ # A = 0 #) เราได้เวกเตอร์บอกทิศทางของฉากตั้งฉากโดยการสลับค่าพิกัดและลบหนึ่งค่าตรงนี้ # (ข, -a). # ได้รับการยืนยันจากผลิตภัณฑ์ศูนย์จุดตั้งฉาก:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

สมการพาราเมทริกของความสูงจาก OP ถึง Q คือ:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) รูปสี่เหลี่ยม # จริง # เสื้อ #

ระดับความสูงจาก OQ ถึง P นั้นใกล้เคียงกัน

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) รูปสี่เหลี่ยม # จริง #ยู#

ทิศทางเวกเตอร์ของ PQ คือ # Q-P = (c-A, D-B) #. ดังนั้นในแนวตั้งฉากกับต้นกำเนิดคือความสูงจาก PQ จึงเป็น

# (x, y) = v (d-b, a-c) รูปสี่เหลี่ยม # จริง # v #

ลองดูที่การตอบสนองของระดับความสูงจาก OP และ PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

นั่นคือสมการสองข้อในสองนิรนาม # เสื้อ # และ # v #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

เราจะคูณแรกด้วย # A # และครั้งที่สองโดย # B #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

เพิ่ม

#ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab-bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

วิธีที่ยอดเยี่ยมกับผลิตภัณฑ์ดอทในตัวเศษและครอสโปรดัคในส่วน

พบเป็น orthocenter สันนิษฐาน # (x, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

เรามาพบการตอบสนองของระดับความสูงจาก OQ และ PQ ต่อไป โดยความสมมาตรเราสามารถสลับกันได้ # A # กับ c # # และ # B # กับ # d #. เราจะโทรหาผลลัพธ์ # (x 'y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

เรามีสองแยกนี้เหมือนกัน # (x ', y') = (x, y), # ดังนั้นเราได้พิสูจน์แล้วว่าระดับความสูงพร้อมกัน #quad sqrt #

เราได้พิสูจน์การตั้งชื่อของสี่แยกสามัญ orthocenter และเราพบพิกัดของมันแล้ว

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #