ได้โปรดมีคนช่วยแก้ปัญหาเหรอ?

ตอบ:

ลองการเปลี่ยนแปลง # x = tan u #

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

เรารู้ว่า # 1 + tan ^ 2 u = sec ^ 2u #

โดยการเปลี่ยนแปลงที่เสนอเรามี

# dx = sec ^ 2u du #. ช่วยทดแทนในอินทิกรัล

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / วินาที ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = Sinu + C #

ดังนั้นการเลิกทำการเปลี่ยนแปลง:

# U = arctanx # และในที่สุดเราก็มี

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

ตอบ:

#COLOR (สีฟ้า) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

คำอธิบาย:

ลองใช้การแทนที่ตรีโกณมิติเพื่อแก้อินทิกรัลนี้ ในการทำเช่นนั้นเราจะสร้างสามเหลี่ยมมุมฉาก #Delta ABC # และติดฉลากด้านข้างในลักษณะที่ใช้สูตรของพีธากอรัสเราสามารถรับนิพจน์ที่เรากำลังเห็นในการโต้แย้งของอินทิกรัลดังต่อไปนี้:

มุม # / B = _ theta # มีด้านตรงข้าม # x # และด้านข้างติดกัน #1#. ใช้สูตรของพีธากอรัส:

# (BC) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (AC) ^ 2 # ผลลัพธ์ใน:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# BC = sqrt (1 + x ^ 2 # ตามที่ปรากฏ.

ทีนี้ลองเขียนฟังก์ชั่นตรีโกณมิติพื้นฐานที่สุดสามตัวสำหรับ # theta #:

# sintheta = x / sqrt (1 + x ^ 2) #

# costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# tantheta = x / 1 = x #

ตอนนี้เราต้องใช้สมการเหล่านี้เพื่อแก้ปัญหาการรวมปริพันธ์ในส่วนของเงื่อนไขตรีโกณมิติ มาใช้กัน # tantheta #:

# tantheta = x #

ลองหาอนุพันธ์ของทั้งสองด้าน:

# sec ^ 2 theta d theta = dx #

จาก # costheta # สมการเราสามารถแก้หา #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

หากเราเพิ่มสมการนี้ทั้งสองข้างให้เป็นพลังของ #3# เราได้รับ:

# วินาที ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

ทีนี้เราสามารถแทนที่สิ่งที่เราคำนวณให้เป็นอินทิกรัลปัญหาเพื่อเปลี่ยนเป็นอินทิกรัลตรีโกณมิติ:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (วินาที ^ 2thetad theta) / วินาที ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) d theta = intcancelcolor (สีแดง) (วินาที ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (สีแดง) (วินาที ^ 2theta)) d theta = int1 / secthetad theta = int1 / (1 / costheta) d theta = intcosthetad theta = sintheta + C #

ตอนนี้เราสามารถทดแทนได้ # sintheta # และเปลี่ยนคำตอบของเรากลับไปเป็นการแสดงออกทางพีชคณิตในแง่ของ # x #:

#COLOR (สีฟ้า) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = x / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #