อนุพันธ์ของ (x ^ 2 + x) ^ 2 คืออะไร?

ตอบ:

# y ^ '= 4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x #

คำอธิบาย:

คุณสามารถแยกความแตกต่างของฟังก์ชั่นนี้โดยใช้ รวม และ กฎพลังงาน. ขอให้สังเกตว่าคุณสามารถเขียนฟังก์ชันนี้เป็น

#y = (x ^ 2 + x) ^ 2 = x (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 * (x + 1) ^ 2 #

#y = x ^ 2 * (x ^ 2 + 2x + 1) = x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2 #

ตอนนี้กฎผลรวมจะบอกคุณว่าสำหรับฟังก์ชั่นที่มีรูปแบบ

#y = sum_ (i = 1) ^ (oo) f_i (x) #

คุณสามารถหาอนุพันธ์ของ # Y # โดยการเพิ่มอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นของแต่ละบุคคล

#color (สีน้ำเงิน) (d / dx (y) = f_1 ^ '(x) + f_2 ^' (x) + … #

ในกรณีของคุณคุณมี

# y ^ '= d / dx (x ^ 4 + 2x ^ 2 + x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) + d / dx (2x ^ 2) + d / dx (x ^ 2) #

# y ^ '= d / dx (x ^ 4) * 2d / dx (x ^ 3) * d / dx (x ^ 2) #

ในการแยกความแตกต่างเศษส่วนนี้ให้ใช้กฎกำลัง

#color (สีน้ำเงิน) (d / dx (x ^ a) = axe ^ (a-1)) #

ดังนั้นอนุพันธ์ของคุณจะออกมาเป็น

# y ^ '= 4x ^ (4-1) + 2 * 3x ^ (3-1) + 2x ^ (2-1) #

# y ^ '= สี (สีเขียว) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #

อีกทางเลือกหนึ่งคุณสามารถใช้กฎลูกโซ่เพื่อแยกความแตกต่าง # Y #.

#color (สีน้ำเงิน) (d / dx (y) = d / (du) (y) * d / dx (u)) #

ในกรณีของคุณคุณมี #y = u ^ 2 # และ # u = x ^ 2 + x #เพื่อให้คุณได้รับ

# dy / (dx) = d / (du) u ^ 2 * d / dx (x ^ 2 + x) #

# dy / dx = 2u * (2x + 1) #

# dy / dx = 2 (x ^ 2 + x) * (2x + 1) #

# dy / dx = (2x ^ 2 + 2x) * (2x + 1) #

# dy / dx = 4x ^ 3 + 2x ^ 2 + 4x ^ 2 + 2x = สี (สีเขียว) (4x ^ 3 + 6x ^ 2 + 2x) #