คุณจะหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดของ 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0 ได้อย่างไร

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # สำหรับ

#x ใน {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # ที่ไหน #n ใน ZZ #

แก้: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

ก่อนอื่นแทนที่ # cos ^ 2 x # โดย # (1 - บาป ^ 2 x) #

# 2 (1 - sin ^ 2 x) - sin x - 1 = 0 #.

โทร # sin x = t #, เรามี:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

นี่คือสมการกำลังสองของแบบฟอร์ม # at ^ 2 + bt + c = 0 # ที่สามารถแก้ไขได้โดยทางลัด:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

หรือแฟ # - (2t-1) (T + 1) = 0 #

หนึ่งรากที่แท้จริงคือ # t_1 = -1 # และอื่น ๆ คือ # t_2 = 1/2 #.

ถัดไปแก้ฟังก์ชั่นตรีโกณมิติพื้นฐาน 2 ตัว:

# t_1 = sin x_1 = -1 #

# rarr # # x_1 = pi / 2 + 2npi # (สำหรับ #n ใน ZZ #)

และ

# t_2 = sin x_2 = 1/2 #

# rarr # # x_2 = pi / 6 + 2npi #

หรือ

# rarr # # x_2 = (5pi) / 6 + 2npi #

ตรวจสอบกับสมการ (1):

#cos (3pi / 2) = 0; บาป (3pi / 2) = -1 #

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (แก้ไข)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; sin (pi / 6) = 1/2 #.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (แก้ไข)