จะหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป 5 sin (x) +2 cos (x) = 3 ได้อย่างไร

ตอบ:

# rarrx = NPI + (- 1) ^ n * (บาป ^ (- 1) (3 / sqrt29)) - บาป ^ (- 1) (2 / sqrt29) # #n inZZ #

คำอธิบาย:

# rarr5sinx + 2cosx = 3 #

#rarr (5sinx + 2cosx) / (sqrt (5 ^ 2 + 2 ^ 2)) = 3 / (sqrt (5 ^ 2 + 2 ^ 2) #

# rarrsinx * (5 / sqrt (29)) + cosx * (2 / sqrt (29)) = 3 / sqrt29 #

ปล่อย # cosalpha = 5 / sqrt29 # แล้วก็ # sinalpha = sqrt (1-cos ^ 2alpha) = sqrt (1- (5 / sqrt29) ^ 2) = 2 / sqrt29 #

นอกจากนี้ # อัลฟา = cos ^ (- 1) (5 / sqrt29) = บาป ^ (- 1) (2 / sqrt29) #

ตอนนี้สมการที่แปลงไปเป็น

# rarrsinx * cosalpha + cosx * sinalpha = 3 / sqrt29 #

#rarrsin (x + อัลฟา) = sin (บาป ^ (- 1) (3 / sqrt29)) #

# rarrx + sin ^ (- 1) (2 / sqrt29) = NPI + (- 1) ^ n * (บาป ^ (- 1) (3 / sqrt29)) #

# rarrx = NPI + (- 1) ^ n * (บาป ^ (- 1) (3 / sqrt29)) - บาป ^ (- 1) (2 / sqrt29) # #n inZZ #

ตอบ:

#x = 12 ^ @ 12 + k360 ^ @ #

#x = 124 ^ @ 28 + k360 ^ @ #

คำอธิบาย:

5sin x + 2cos x = 3

หารทั้งสองข้างด้วย 5

#sin x + 2/5 cos x = 3/5 = 0.6 # (1)

โทร #tan t = sin t / (cos t) = 2/5 # --> #t = 21 ^ @ 80 # -> cos t = 0.93

สมการ (1) กลายเป็น:

#sin x.cos t + sin t.cos x = 0.6 (0.93) #

#sin (x + t) = sin (x + 21.80) = 0.56 #

เครื่องคิดเลขและวงกลมหน่วยให้โซลูชัน 2 รายการสำหรับ (x + t) ->

x + 21.80 = 33.92

#x = 33.92 - 21.80 = 12 ^ @ 12 #

ข x + 21.80 = 180 - 33.92 = 146.08

#x = 146.08 - 21.80 = 124 ^ @ 28 #

คำตอบทั่วไป:

#x = 12 ^ @ 12 + k360 ^ @ #

#x = 124 ^ @ 28 + k360 ^ @ #

ตรวจสอบด้วยเครื่องคิดเลข

#x = 12 ^ @ 12 # -> 5sin x = 1.05 -> 2cos x = 1.95

5sin x + 2cos x = 1.05 + 1.95 = 3. พิสูจน์แล้ว

#x = 124 ^ @ 28 # -> 5sin x = 4.13 -> 2cos x = -1.13

5sin x + 2cos x = 4.13 - 1.13 = 3. พิสูจน์แล้ว