คุณจะหาจุดสุดยอดของสมการกำลังสองได้อย่างไร

ตอบ:

ใช้สูตร # -b / (2a) # สำหรับพิกัด x แล้วเสียบเข้าเพื่อค้นหาค่า y

คำอธิบาย:

สมการกำลังสองเขียนเป็น # ขวาน ^ 2 + BX + C # ในรูปแบบมาตรฐาน และจุดสุดยอดสามารถพบได้โดยใช้สูตร # -b / (2a) #.

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าปัญหาของเราคือหาจุดยอด (x, y) ของสมการกำลังสอง # x ^ 2 + 2x-3 #.

1) ประเมินค่า a, b และ c ของคุณ ในตัวอย่างนี้ a = 1, b = 2 และ c = -3

2) เสียบค่าของคุณลงในสูตร # -b / (2a) #. สำหรับตัวอย่างนี้คุณจะได้รับ #-2/(2*1)# ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นถึง -1

3) คุณเพิ่งพบพิกัด x ของจุดสุดยอดของคุณ! ตอนนี้เสียบ -1 สำหรับ x ในสมการเพื่อหาพิกัด y

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (-1) -3 y = #.

5) หลังจากทำให้สมการข้างบนง่ายขึ้นคุณจะได้รับ: 1-2-3 ซึ่งเท่ากับ -4

6) คำตอบสุดท้ายของคุณคือ (-1, -4)!

หวังว่าจะช่วย

ตอบ:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # มีจุดสุดยอดที่ # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

คำอธิบาย:

พิจารณานิพจน์กำลังสองทั่วไป:

# f (x) = axe ^ 2 + bx + c = 0 #

และสมการที่เกี่ยวข้อง # f (x) = 0 #:

# => axe ^ 2 + bx + c = 0 #

มีราก อัลฟา # # และ # # เบต้า.

เรารู้ (ตามสัดส่วน - ดูด้านล่างเพื่อพิสูจน์) ว่าจุดยอด (สูงสุดหรือต่ำสุด) คือจุดกึ่งกลางของรากทั้งสอง # x #- ระดับสูงสุดของจุดสุดยอดคือ:

# x_1 = (อัลฟา + เบต้า) / 2 #

อย่างไรก็ตามจำคุณสมบัติที่ศึกษาได้ดี:

# {: ("ผลรวมของรูท", = อัลฟา + เบต้า, = -b / a), ("ผลิตภัณฑ์ของรูท", = อัลฟ่าเบต้า, = c / a):} #

ดังนั้น:

# x_1 = - (b) / (2a) #

ให้เรา:

# f (x_1) = a (- (b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

# = (b ^ 2) / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c #

# = (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# = - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

ดังนั้น:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # มีจุดสุดยอดที่ # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

พิสูจน์จุดกึ่งกลาง:

ถ้าเรามี

# f (x) = axe ^ 2 + bx + c = 0 #

จากนั้นแยกความแตกต่าง wrt # x #:

# f '(x) = 2ax + b #

ที่จุดวิกฤติอนุพันธ์แรก # f (x) # หายตัวไปซึ่งต้องการ:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) # QED