คุณประเมินอินทิกรัลของ int (dt) / (t-4) ^ 2 จาก 1 ถึง 5 อย่างไร

ตอบ:

แทน # x = T-4 #

คำตอบคือถ้าคุณถูกขอให้เพียงหาอินทิกรัล:

#-4/3#

หากคุณค้นหาพื้นที่มันไม่ง่ายอย่างนั้น

คำอธิบาย:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

ตั้ง:

# T-4 x = #

ดังนั้นความแตกต่าง:

# (d (t-4)) / dt = DX / dt #

# 1 = DX / dt #

# dt = DX #

และข้อ จำกัด:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

ตอนนี้แทนที่ค่าทั้งสามที่พบ:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1DX / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ ^ 1x -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

บันทึก: อย่าอ่านสิ่งนี้หากคุณยังไม่ได้ใช้วิธีค้นหาพื้นที่. แม้ว่าสิ่งนี้ควรเป็นตัวแทนของพื้นที่ระหว่างสองขีด จำกัด และเนื่องจากมันเป็นบวกเสมอมันควรจะเป็นบวก อย่างไรก็ตามฟังก์ชั่นนี้คือ ไม่ต่อเนื่อง ที่ # x = 4 # อินทิกรัลนี้ไม่ได้เป็นตัวแทนของพื้นที่ถ้านั่นคือสิ่งที่คุณต้องการ มันซับซ้อนกว่านี้เล็กน้อย

ตอบ:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

คำอธิบาย:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

ตอบ:

ขึ้นอยู่กับว่าคุณได้เรียนรู้คำตอบที่ "ดีที่สุด" ในการบูรณาการ: "อินทิกรัลยังไม่ได้กำหนด" (ยัง) หรือ "ส่วนประกอบสำคัญ"

คำอธิบาย:

เมื่อเราพยายามประเมิน # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #เราควรตรวจสอบว่ามีการกำหนด integrand ในช่วงเวลาที่เรากำลังรวม

# 1 / (x-4) ^ 2 # ไม่ได้กำหนดไว้ที่ #4#ดังนั้นมันจึงเป็น ไม่ กำหนดไว้ในช่วงเวลาทั้งหมด #1,5#.

ในช่วงแรกของการศึกษาแคลคูลัส เรากำหนดอินทิกรัลโดยเริ่มจาก

"ปล่อย # F # ถูกกำหนดในช่วงเวลา # a, b #… '

ดังนั้นในช่วงต้นของการศึกษาคำตอบที่ดีที่สุดคือ

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# ไม่ได้กำหนดไว้ (ยัง?)

ต่อมาเราขยายคำจำกัดความ สิ่งที่เรียกว่า "อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม"

สิ่งเหล่านี้รวมถึงอินทิกรัลในช่วงเวลาที่ไม่ จำกัด (# (- OO, b #, # a, OO) # และ # (- OO, OO) #) และช่วงเวลาที่ integrand มีจุดที่ไม่ได้กำหนดไว้

ถึง (ลอง) เพื่อประเมิน # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #เราประเมินอินทิเกรตทั้งสองที่ไม่เหมาะสม # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(โปรดทราบว่า integrand ยังไม่ได้กำหนดไว้ในสิ่งเหล่านี้ ปิด ช่วงเวลา.)

วิธีการคือการแทนที่จุดที่ integrand ไม่ได้กำหนดโดยตัวแปรจากนั้นใช้การ จำกัด ตามที่ตัวแปรเข้าใกล้จำนวน

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

มาหาอินทิกรัลกันก่อน:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

มองหาขีด จำกัด เป็น # brarr4 ^ - #เราจะเห็นว่าไม่มีขีด จำกัด (เช่น # brarr4 ^ - #, คุณค่าของ # -1 / (ข-4) # เพิ่มขึ้นโดยไม่มีข้อผูกมัด)

ดังนั้นอินทิกรัลมากกว่า #1,4# ไม่มีอยู่ดังนั้นอินทิกรัลมากกว่า #1,5# ไม่ได้อยู่.

เราบอกว่าอินทิกรัลลงตัว

บันทึก

บางคนบอกว่า: ตอนนี้เรามี คำนิยาม ของอินทิกรัลนั้นไม่ได้เกิดขึ้นกับจำนวนใด ๆ ที่เป็นไปตามคำจำกัดความ