Extrema ท้องถิ่นของ f (x) = xlnx-xe ^ x คืออะไร?

ตอบ:

ฟังก์ชั่นนี้ไม่มี extrema ในเครื่อง

คำอธิบาย:

#f (x) = xlnx-xe ^ x แสดงถึง #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

สำหรับ # x # ที่จะเป็นสุดขั้ว #G (x) # ต้องเป็นศูนย์ ตอนนี้เราจะแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ไม่ได้เกิดขึ้นกับมูลค่าที่แท้จริงของ # x #.

สังเกตได้ว่า

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

ดังนั้น #G ^ '(x) # จะหายไปถ้า

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

นี่คือสมการยอดเยี่ยมที่สามารถแก้ไขได้เป็นตัวเลข ตั้งแต่ #g ^ '(0) = + oo # และ #G ^ '(1) = 1-3e <0 #รูตอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และตั้งแต่นั้นมา #g ^ {''} (0) <0 # สำหรับเชิงบวกทั้งหมด # x #นี่เป็นรูทเดียวและสอดคล้องกับค่าสูงสุดสำหรับ #G (x) #

มันค่อนข้างง่ายที่จะแก้สมการเชิงตัวเลขและนี่แสดงให้เห็นว่า #G (x) # มี สูงสุด ที่ # x = 0.3152 # และค่าสูงสุดคือ #g (0.3152) = -1.957 #. ตั้งแต่ค่าสูงสุดของ #G (x) # เป็นค่าลบไม่มีค่าเป็น # x # ที่ #G (x) # หายตัวไป

มันอาจจะเป็นคำแนะนำให้ดูกราฟนี้:

กราฟ {x เข้าสู่ระบบ (x) -x e ^ x -0.105, 1, -1.175, 0.075}

อย่างที่คุณเห็นจากกราฟข้างบนฟังก์ชั่น # f (x) # จริง ๆ แล้วมีค่าสูงสุดที่ # x = 0 # - แต่นี่ไม่ใช่ค่าสูงสุดในท้องถิ่น กราฟด้านล่างแสดงให้เห็นว่า #g (x) equiv f ^ '(x) # ไม่เคยใช้ค่าศูนย์

กราฟ {1 + บันทึก (x) - (x + 1) * e ^ x -0.105, 1, -3, 0.075}