แสดงว่า int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

ตอบ:

ดูคำอธิบาย

คำอธิบาย:

เราต้องการที่จะแสดง

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

นี่เป็นอินทิกรัลค่อนข้าง "น่าเกลียด" ดังนั้นวิธีการของเราจะไม่แก้อินทิกรัลนี้ แต่เปรียบเทียบกับอินทิกรัล "ดีกว่า"

ตอนนี้สำหรับตัวเลขจริงที่เป็นบวกทั้งหมด #COLOR (สีแดง) (บาป (x) <= x) #

ดังนั้นมูลค่าของการรวมเข้าด้วยกันจะยิ่งใหญ่ขึ้นสำหรับจำนวนจริงที่เป็นบวกทั้งหมดหากเราแทนที่ # x = sin (x) #ดังนั้นถ้าเราสามารถแสดง

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

ดังนั้นคำสั่งแรกของเราก็ต้องเป็นจริงเช่นกัน

อินทิกรัลใหม่เป็นปัญหาการแทนที่อย่างง่าย

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ ^ 1 0 = sqrt (2) -1 #

ขั้นตอนสุดท้ายคือการสังเกตว่า #sin (x) = x => x = 0 #

ดังนั้นเราสามารถสรุปได้

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #