อะไรคืออนุพันธ์อันดับสองของ (f * g) (x) ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันที่ f '(x) = g (x) และ g' (x) = f (x)?

ตอบ:

# (4F * g) (x) #

คำอธิบาย:

ปล่อย #P (x) = (f * g) (x) = f (x) g (x) #

จากนั้นใช้กฎผลิตภัณฑ์:

#P '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x) #.

โดยใช้เงื่อนไขที่กำหนดในคำถามเราจะได้รับ:

#P '(x) = (g (x)) ^ 2+ (f (x)) ^ 2 #

ตอนนี้ใช้กฎพลังงานและโซ่:

#P '' (x) = 2g (x) g '(x) + 2f (x) f' (x) #.

การใช้เงื่อนไขพิเศษของคำถามนี้อีกครั้งเราเขียน:

#P '' (x) = 2g (x) f (x) + 2f (x) g (x) = 4f (x) g (x) = 4 (f * g) (x) #

ตอบ:

คำตอบในกรณีอื่น # F * G # มีขึ้นเพื่อเป็นองค์ประกอบของ # F # และ # G #

คำอธิบาย:

เราต้องการหาอนุพันธ์อันดับสองของ # (ฉ * g) (x) = f (g (x)) #

เราแยกความแตกต่างเมื่อใช้กฎลูกโซ่

# d / DXF (g (x)) = f '(g (x)) g' (x) = f '(g (x)) f (x) #

จากนั้นเราแยกความแตกต่างอีกครั้งโดยใช้กฎห่วงโซ่ผลิตภัณฑ์

# d / DXF '(g (x)) f (x) = f' '(g (x)) g' (x) f (x) + F (x) F '(g (x)) #

# = f '' (g (x)) f (x) ^ 2 + g (x) F '(g (x)) #