F (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx ถ้า f (pi / 6) = 1 คืออะไร

ตอบ:

# อี ^ x / 2 (บาป (x) + cos (x)) - LN | cos (x) | -1 / 2 วินาที ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) จ ^ (PI / 6) + LN (sqrt3 / 2) #

คำอธิบาย:

เราเริ่มด้วยการแยกอินทิกรัลออกเป็นสามส่วน:

#int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int tan ^ 3 (x) dx-cos (x) #

ฉันจะเรียกอินทิกรัลอินทิกรัลอินซ้าย 1 และอินทิกรัล 1 ทางขวา 1

ส่วนประกอบสำคัญ 1

ที่นี่เราต้องการการบูรณาการโดยชิ้นส่วนและเคล็ดลับเล็กน้อย สูตรสำหรับการรวมโดยชิ้นส่วนคือ:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

ในกรณีนี้ฉันจะให้ # f (x) = x ^ E # และ #G '(x) = cos (x) #. เราเข้าใจแล้ว

# f '(x) = x ^ E # และ #G (x) = sin (x) #.

นี่ทำให้อินทิกรัลของเรา:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx #

ตอนนี้เราสามารถใช้การรวมกลุ่มได้อีกครั้ง แต่คราวนี้ด้วย #G '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) dx #

ตอนนี้เราสามารถเพิ่มอินทิกรัลทั้งสองด้านโดยให้:

# 2int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

#int e ^ xcos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = E ^ x / 2 (บาป (x) + cos (x)) + C #

ส่วนประกอบสำคัญ 2

ก่อนอื่นเราสามารถใช้ข้อมูลประจำตัว:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

สิ่งนี้ให้:

#int tan ^ 3 (x) dx = int sin ^ 3 (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

ตอนนี้เราสามารถใช้เอกลักษณ์ของพีทาโกรัส:

# บาป ^ 2 (theta) = 1 cos ^ 2 (theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x) dx #

ตอนนี้เราสามารถแนะนำการเปลี่ยนตัวคุณด้วย # U = cos (x) #. จากนั้นเราหารด้วยอนุพันธ์ # -sin (x) # เพื่อบูรณาการด้วยความเคารพ #ยู#:

# -int (ยกเลิก (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (ยกเลิก (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

เติมอินทิกรัลดั้งเดิมให้สมบูรณ์

ตอนนี้เรารู้ว่าอินทิกรัล 1 และอินทิกรัล 2 เราสามารถเสียบกลับเข้าไปในอินทิกรัลต้นฉบับและทำให้คำตอบสุดท้ายง่ายขึ้น:

# อี ^ x / 2 (บาป (x) + cos (x)) - LN | cos (x) | -1 / 2 วินาที ^ 2 (x) -cos (x) + C #

ตอนนี้เรารู้ว่าแอนติเดริเวทีฟเราสามารถแก้ปัญหาค่าคงที่ได้:

# f (PI / 6) = 1 #

# อี ^ (PI / 6) / 2 (บาป (PI / 6) + cos (PI / 6)) - LN | cos (PI / 6) | -1 / 2 วินาที ^ 2 (PI / 6) -cos (PI / 6) + C = 1 #

# -2/3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) จ ^ (PI / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (4/1 + sqrt3 / 4) จ ^ (PI / 6) + LN (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (4/1 + sqrt3 / 4) จ ^ (PI / 6) + LN (sqrt3 / 2) #

นี่ทำให้ฟังก์ชั่นของเราคือ:

# อี ^ x / 2 (บาป (x) + cos (x)) - LN | cos (x) | -1 / 2 วินาที ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) จ ^ (PI / 6) + LN (sqrt3 / 2) #