ค้นหาพื้นที่ของภูมิภาคสีเทาหรือไม่?

ตอบ:

โปรดดูที่ด้านล่าง.

คำอธิบาย:

เมื่อเราเรียนรู้ที่จะหาพื้นที่ด้วยการรวมกลุ่มเราจะใช้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตัวแทนในแนวตั้ง

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีฐาน # DX # การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยใน # x #) และความสูงเท่ากับส่วนสูง # Y # (อันที่โค้งบน) ลบจำนวนที่น้อยกว่า # Y # ค่า (อันที่เส้นโค้งล่าง) จากนั้นเราจะรวมจากที่เล็กที่สุด # x # คุณค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด # x # ราคา.

สำหรับปัญหาใหม่นี้เราสามารถใช้ intergrals สองแบบนี้ (ดูคำตอบโดย Jim S) แต่มันมีค่ามากที่จะเรียนรู้ที่จะเปลี่ยนความคิดของเรา #90^@#.

เราจะนำตัวแทนที่น่ากลัวเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีความสูง # DY # การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยใน # Y #) และฐานเท่ากับจำนวนที่มากกว่า # x # (อันที่โค้งขวาสุด) ลบด้วยเลสเบี้ยน # x # ค่า (หนึ่งบนเส้นโค้งซ้ายสุด) จากนั้นเราจะรวมจากที่เล็กที่สุด # Y # คุณค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด # Y # ราคา.

สังเกตเห็นความเป็นคู่

# {:("แนวตั้ง", iff, "แนวนอน"), (dx, iff, dy), ("บน", iff, "ขวาสุด"), ("ล่าง", iff, "ซ้ายสุด"), (x, iff, y):} #

วลี "จากคำที่เล็กที่สุด # x # คุณค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด # x # ค่า "บ่งชี้ว่าเรารวมจากซ้ายไปขวา (ในทิศทางของการเพิ่มขึ้น # x # ค่า.)

วลี "จากคำที่เล็กที่สุด # Y # คุณค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด # Y # ค่า "บ่งชี้ว่าเรารวมด้านล่างขึ้นบน (ในทิศทางของการเพิ่ม # Y # ค่า.)

นี่คือรูปภาพของพื้นที่ที่มีสี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ระบุ:

บริเวณนั้นคือ

# int_1 ^ 2 (y-1 / y ^ 2) dy = 1 #

ตอบ:

พื้นที่ของภูมิภาคสีเทาคือ # 1m ^ 2 #

คำอธิบาย:

# x = 1 / Y ^ 2 #

# Y ^ 2 = 1 / x #

# การ y = sqrtx / x # (เราเห็นได้จากกราฟ)

# sqrtx / x = x # #<=># # x ^ 2 = sqrtx # #<=>#

# ^ x 4 x = 0 # #<=># # x (x ^ 3-1) = 0 # #<=># # x = 1 # (เราสามารถเห็นได้จากกราฟ)

หนึ่งในหลายวิธีที่พื้นที่ของพื้นที่แรเงาสามารถแสดงได้อาจเป็นพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม # AhatOB = Ω # ไม่รวมพื้นที่สีฟ้าซึ่งฉันจะโทร #COLOR (สีฟ้า) (Ω_3) #

ปล่อย #Ω_1# เป็นพื้นที่สีดำที่แสดงในกราฟและ #COLOR (สีเขียว) (Ω_2) # พื้นที่สีเขียวที่แสดงในกราฟ

พื้นที่ของสามเหลี่ยมเล็ก ๆ # ChatAD = # #COLOR (สีเขียว) (Ω_2) # จะ:

• #COLOR (สีเขียว) (Ω_2) = ## 1/2 * 1 * 1 = 1 / 2m ^ 2 #

# sqrtx / x = 2 # #<=># # sqrtx = 2x # #<=># # x = 4x ^ 2 #

#<=># # x = 4/1 #

พื้นที่ของ #Ω_1# จะ:

#int_ (1/4) ^ 1 (2 sqrtx / x) DX = 2 x _ (1/4) ^ 1-2 sqrtx _ (1/4) ^ 1 = #

# 2 (1-1 / 4) -2 (1-sqrt (1/4)) = 6 / 4-2 (1-1 / 2) #

# = 3 / 2-1 = 1 / 2m ^ 2 #

เป็นผลให้พื้นที่แรเงาจะ

• #Ω_1## + สี (สีเขียว) (Ω_2) ## = 2/1 + 2/1 = 1m ^ 2 #